Question

已知直线y=2x+4与x轴、y轴的交点分别为A、B，y轴上点C的坐标为（0，2），在x轴的正半轴上找一点P，使以P、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，则点P的坐标为

 

．

Answer 1

分析：如图，A、B两点的坐标容易根据直线的解析式求出，所以OA、OB的长度也可以求出，而C的坐标已知，所以OC=2，而以P、O、C为顶点的三角形与△AOB相似有两种情况，其中OC可以和OA对应，也可以和OB对应，利用相似三角形的对应边成比例就可以求出OP的长度，也就求出了P的坐标．

解答：解：如图，
∵直线y=2x+4，
∴当x=0时，y=4；
当y=0时，x=-2．
∴A（-2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∵C的坐标为（0，2），
∴OC=2，
若以P、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，
那么有两种情况：
①OC和OA对应，那么OP和OB对应，
∵OA=OC=2，
∴OP=OB=4，
∴P的坐标为（4，0）；
②OC和OB对应，那么OP和OA对应，
∴

OC

OB

=

OP

OA

，
∴OP=1，
∴P的坐标为（1，0）．
因此P的坐标为（4，0）或（1，0）．
故填空答案：（4，0）或（1，0）．

点评：此题把一次函数与相似三角形的性质与判定相结合，考查了同学们综合运用所学知识的能力，是一道综合性较好的题目．