Question

16．如图，把△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，AC⊥DE于点H，点M、N分别为AE、DC的中点，延长NB交AE于点K，若BN=6.5，BC=5，∠CBN=2∠DBN，则KM=1.5．

Answer 1

分析 如图延长BN到H，使得NH=BN，连接DH，CH，在KA上截取一点F，使得KF=KE，连接BF，AC与BD交于点O，首先证明△ABE≌△DBE，推出AE=PB=13，∠AEB=2∠BAE，再证明BK⊥AE，设设KE=KF=a，则AF=AE-EF=13-2a，列出方程求出a，即可解决问题．

解答 解：如图延长BN到H，使得NH=BN，连接DH，CH，在KA上截取一点F，使得KF=KE，连接BF，AC与BD交于点O，

∵△ABC≌△DBE，
∴∠BAC=∠BDE，AB=BD，BE=BC，
∵AC⊥DE于H，
∴∠OHD=90°，
∵∠AOB=∠DOH，
∴∠ABO=∠OHD=90°，
∴∠ABD=∠EBC=90°，
∴∠DBC+∠ABE=180°，
∵DN=NC，BN=NH，
∴四边形BCHD是平行四边形，
∴BC∥PD，BC=PD=BE，
∴∠PDB+∠CBD=180°，
∴∠ABE=∠PDB，
在△ABE和△BDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠ABE=∠PDB}\\{BE=PD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBE，
∴AEB=∠DPB=∠CBN，∠EAB=∠DBP，AE=BP=13，
∵∠CBN=2∠DBN，
∴∠BEA=2∠BAE，
∵∠PBD+∠ABK=90°，
∴∠BAE+∠ABK=90°，
∴∠AKB=90°，∴BK⊥EF，
∵FK=KE，
∴∠BEA=∠BFE=2∠BAE，
∵∠BFE=∠BAF+∠ABF，
∴∠FAB=∠FBA，
∴FA=FB，设KE=KF=a，则AF=AE-EF=13-2a，
∴（13-2a）²-a²=5²-a²，
∴a=4或9（舍弃），
∴MK=ME-KE=6.5-4=1.5．
故答案为1.5．λ

点评 本题考查性质的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．