Question

如图，△OAB是边长为的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF。

（1）当A′E//x轴时，求点A′和E的坐标；
（2）当A′E//x轴，且抛物线经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标；
（3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由。

Answer 1

解：（1）由已知可得∠A，OE=60°，A′E=AE，
由A′E//轴，得△OA′E是直角三角形，
设A′的坐标为（0，b）
AE=A′E=，OE=2b，+2b=2+
所以b=1，A′，E的坐标分别是（0，1）与（，1）；
（2） 因为A′、E在抛物线上，所以
，所以，
函数关系式为，
由得，
与x轴的两个交点坐标分别是（-，0）与（2，0）；
（3） 不可能使△A′EF成为直角三角形。
∵∠FA′E=∠FAE=60°，若△A′EF成为直角三角形，只能是∠A′EF=90°或∠A′FE=90°，
若∠A′EF=90°，利用对称性，则∠AEF=90°，A′、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾；
同理若∠A′FE=90°也不可能所以不能使△A′EF成为直角三角形。