Question

14、已知Rt△ABC的两条直角边的长a、b均为整数，且a为质数，若斜边c也是整数，求证：2（a+b+1）是完全平方数．

Answer 1

分析：由勾股定理易得a²+b²=c²，则a²=c²-b²=（c+b）（c-b），因为a为质数，所以c+b=a²，c-b=1，两式相减可得a²=2b+1，代入2（a+b+1）即可得证．

解答：解：∵a，b是Rt△ABC的两条直角边，c是斜边，
∴a²+b²=c²，
即a²=c²-b²=（c+b）（c-b），
∵a为质数，
∴c+b=a²，c-b=1，
∴a²=2b+1，
∴2（a+b+1）=a²+2a+1=（a+1）²，
∴2（a+b+1）是完全平方数．

点评：此题考查完全平方数，根据勾股定理和a为质数展开答题，是关键．