Question

20．如图，在等边△ABC内有一点P，且PA=2，PB=$\sqrt{3}$，PC=1．
（1）画出将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得到的三角形；
（2）求∠BPC的度数；
（3）求AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据旋转变换的要求作出△PBC绕点B逆时针旋转60°后的图形；
（2）连接PP′，证明△PBP′为等边三角形，得到∠PP′B=60°，求出∠AP′P=90°，得到答案；
（3）过点B作BD⊥AP′的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义求出BD及P′D的长，再根据勾股定理求出AB的长即可．

解答 解：（1）如图：

（2）如图2，连接PP′，
∵BP=BP′，∠PBP′=60°，
∴△PBP′为等边三角形，∠PP′B=60°，PP′=PB=$\sqrt{3}$，
在△APP′中，P′A=PC=1，PP′=$\sqrt{3}$，PA=2，
∴∠AP′P=90°，
∴∠AP′B=150°，
∴∠BPC=150°；

（3）过点B作BD⊥AP′的延长线于点D，
∵∠AP′B=150°，
∴∠BP′D=30°．
∵BP′=BP=$\sqrt{3}$，
∴BD=BP′•sin30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，DP′=BP′•cos30°=$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴AD=AP′+DP′=2+$\frac{3}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{7}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查的是作图-旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质及锐角三角函数的定义是解答此题的关键．