Question

11．如图，A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE=BF，AC=BD．求证：CF∥DE．

Answer 1

分析 利用“HL”证明Rt△ACE和Rt△BDF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEC=∠BFD，全等三角形对应边相等可得CE=DF，再利用“边角边”证明△CEF和△DFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CFE=∠DEF，然后利用内错角相等，两直线平行证明即可．

解答 证明：∵AC⊥CE，BD⊥DF，
∴△ACE和△BDF都是直角三角形，
在Rt△ACE和Rt△BDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF}\\{AC=BD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL），
∴∠AEC=∠BFD，CE=DF，
在△CEF和△DFE中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=BD}\\{∠AEC=∠BFD}\\{EF=FE}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△DFE（SAS），
∴∠CFE=∠DEF，
∴CF∥DE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．