如图△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，△DEA 绕点A旋转，边AD、AE与BC分别与AD、AE相交于点F、G，CB=5．分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，由外角的性质得到∠CFA=∠B+∠FAB，∠GAB=∠FAG+∠FAB，于是得到∠CFA=∠BAG，即可得到结论．
（2）方法同（1）证得△AGF∽△ACF，根据相似三角形的性质即可得到结论．
（3）由△GAF∽△GBA，可得AG2=FG•BG，又由AF2=FG•FC，易得y=AF2+AG2=FG•（CB+FG），继而求得y与x的函数关系式．
（4）首先把△ABF旋转至△ACP，得△ABF≌△ACP，再利用三角形全等的知识证明∠ACP+∠ACB=90°，进而可以证明BF、FG、GC之间的关系．
解答 证明：（1）∵△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDA=90°，
∴∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，
∵∠CFA=∠B+∠FAB，∠GAB=∠FAG+∠FAB，
∴∠CFA=∠BAG，
∴△GAF∽△GBA；
（2）∵△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDA=90°，
∴∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，
∵∠FGA=∠B+∠EAC，∠CAF=∠FAG+∠EAC，
∴∠AGF=∠CAF，
∴△AGF∽△ACF，
∴$\frac{AF}{FG}=\frac{CF}{AF}$，
∴AF2=FG•FC．
（3）∵△GAF∽△GBA，
∴$\frac{AG}{BG}=\frac{FG}{AG}$，
∴AG2=FG•BG，
∵AF2=FG•FC，
∴y=AF2+AG2=FG•BG+FG•FC=FG•（BG+FC）=FG•（CB+FG），
∵FG=x，CB=5，
∴y=x（x+5）=x2+5x；
（4）把△ABF旋转至△ACP，得△ABF≌△ACP，
∴∠1=∠4，AF=AP，CP=BF，∠ACP=∠B，
∵∠1+∠3=45°，
∴∠4+∠3=45°，
∴∠2=∠4+∠3=45°，
∴∠2=∠PAG，
在△FAG和△PAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AP}\\{∠2=∠PAG}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△AGP（SAS），
∴FG=GP，
∵∠ACP+∠ACB=45°+45°=90°，
∴在Rt△PGC中，GP2=GC2+CP2，
∴FG2=BF2+GC2．
点评 此题属于相似三角形的综合题．考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质以及等腰直角三角形性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
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正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90°后，B点的坐标为（4，0）；△DCB扫过的面积为$\frac{5}{2}$π+$\frac{5}{2}$．查看答案和解析>>
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如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{a}$（x+2）（x-a）（a＞0）与x轴交于点A，B（点A在点B右侧），与y轴交于点C，抛物线过点N（6，一4）．查看答案和解析>>
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如图，以△ABC的两边AB、AC为底边向外做等腰直角三角形ADB和ACE，连接DE，若S△ADE：S四边形DBCE=1：2，且tan∠AED=$\frac{3}{4}$，则$\frac{AB}{AC}$的值为$\frac{\sqrt{34}}{5}$．查看答案和解析>>
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如图，∠ABC与∠ACB的平分线交于I，若∠ABC+∠ACB=130°，则∠BIC=115°．