Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线经过点，、，，其中、是方程的两根，且，过点的直线与抛物线只有一个公共点

（1）求、两点的坐标；

（2）求直线的解析式；

（3）如图2，点是线段上的动点，若过点作轴的平行线与直线相交于点，与抛物线相交于点，过点作的平行线与直线相交于点，求的长．

Answer 1

【答案】（1）A（-2，2），C（4，8）；（2）直线l的解析式为y=-2x-2或x=-2；（3）

【解析】

（1）解一元二次方程即可得出点A，C坐标；（2）先设出直线l的解析式，再联立抛物线解析式，用△=0，求出k的值，即可得出直线l的解析式；（3）设出点B的坐标，进而求出BC，再表示出点D，E的坐标，进而得出BD，BE，再判断出△BDC∽△BEF得出比例式建立方程即可求出BF．

解：（1）∵x1、x2是方程x2-2x-8=0的两根，且x1＜x2，

∴x1=-2，x2=4，

∴A（-2，2），C（4，8）；

（2）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵A（-2，2）在直线l上，

∴2=-2k+b，

∴b=2k+2，

∴直线l的解析式为y=kx+2k+2①，

∵抛物线y=x2②，

联立①②化简得，x2-2kx-4k-4=0，

∵直线l与抛物线只有一个公共点，

∴△=（2k）2-4（-4k-4）=4k2+16k+16=4（k2+4k+4）=4（k+2）2=0，

∴k=-2，

∴b=2k+2=-2，

∴直线l的解析式为y=-2x-2；

②平行于y轴的直线和抛物线y=x2只有一个交点，

∵直线l过点A（-2，2），

∴直线l：x=-2；

（3）由（1）知，A（-2，2），C（4，8），

∴直线AC的解析式为y=x+4，

设点B（m，m+4），

∵C（4.8），

∴BC=|m-4|=（4-m）

∵过点B作y轴的平行线BE与直线l相交于点E，与抛物线相交于点D，

∴D（m，m2），E（m，-2m-2），

∴BD=m+4-m2，BE=m+4-（-2m-2）=3m+6，

∵DC∥EF，

∴△BDC∽△BEF，

∴ ，

∴ ，

∴BF=6．