Question

已知：α、β是方程x²-x-1=0的两个实数根（α＜β），
（1）求α、β，并通过计算求α+β的值；
（2）阅读范例，尝试解题．
示例：根据α+β的值，求α²+β²与α³+β³的值．
解：因为α是方程x²-x-1=0的一个实数根，
所以α²-α-1=0，移项得：α²=α+1   ①
同理可得：β²=β+1     ②
由①+②得：α²+β²=（α+1）（β+1）=α+β+2
再根据α+β的值就可以求出α²+β²的值，
因为α是方程x²-x-1=0的一个实数根，
所以α²-α-1=0，移项得：α²=α+1；两边同乘以α得：α³=α²+α    ③
同理可得：β³=β²+β    ④
由③+④得α³+β³=（α²+α）+（β²+β）=（α²+β²）+（α+β）
由此可根据上述α+β、α²+β²的值求出α³+β³的值．
①运用上述方法，计算α⁵+β⁵的值？
②计算：(

1+ 5

2

)10+(

1- 5

2

)10的值．（过程不作要求）

Answer 1

考点：一元二次方程的解,因式分解的应用

专题：

分析：（1）利用求根公式，代入即可求出．
（2）探究性问题，根据题目给出的解题步骤，仿写出算式，进行运算即可，难度不大．

解答：解：（1）利用求根公式x=

-b± b2-4ac

2a

，
将a=1，b=-1，c=-1代入得：α=

1+ 5

2

，β=

1- 5

2

，
则α+β=1．

（2）①由实例可得：α²+β²=3，α³+β³=4，α⁴+β⁴=（α³+β³）+（α²+β²）=7．
因为α是方程x²-x-1=0的一个实数根，
所以α²-α-1=0，移项得：α²=α+1；两边同乘以α³得：α⁵=α⁴+α³    ③
同理可得：β⁵=β⁴+β³    ④
由③+④得α⁵+β⁵=（α⁴+α³）+（β⁴+β³）=（α⁴+β⁴）+（α³+β³）=7+4=11．
②123．

点评：此类题难度不大，关键是考查学生的观察运用能力，将题目看透即可作答．