Question

1．如图，正三角形ABC的边长为3，正三角形DEF与其大小相同．
（1）若△ABC与△DEF所构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则你觉得△DEF可由△ABC如何变化而来？
（2）P、Q、R分别是△ABC三边AB、BC、AC上的点，且AP=BQ=CR=x．
①求S_△PQR与x的函数关系式，并求出S_△PQR的最小值；
②设△PQR与△DEF重合部分的面积为S，用含x的代数式表示S．

Answer 1

分析 （1）根据△ABC与△DEF所构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，可得△DEF可由△ABC绕O点顺时针旋转60°得到；
（2）①由对称性可得△APR≌△BQP≌△CRQ，进而得到S_△PRQ=S_△ABC-3S_△APR，根据${S_{△PRQ}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}{x^2}-\frac{{9\sqrt{3}}}{4}x+\frac{{9\sqrt{3}}}{4}=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}{（{x-\frac{3}{2}}）^2}+\frac{{9\sqrt{3}}}{16}（{0≤x≤3}）$，可得当$x=\frac{3}{2}$时，△PQR面积最小，最小值为$\frac{{9\sqrt{3}}}{16}$；
②分三种情况讨论：当0≤x≤1时，当1≤x≤2时，当2≤x≤3时，分别根据△PQR与△DEF重合部分的面积为S，用含x的代数式表示S即可．

解答 解：（1）将△ABC绕O点顺时针旋转60°；

（2）①由对称性可得△APR≌△BQP≌△CRQ，
∴S_△PRQ=S_△ABC-3S_△APR，
∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×3×3×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$，${S_{△APR}}=\frac{1}{2}x（{3-x}）×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=-\frac{{\sqrt{3}}}{4}{x^2}+\frac{{3\sqrt{3}}}{4}x$，
∴${S_{△PRQ}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}{x^2}-\frac{{9\sqrt{3}}}{4}x+\frac{{9\sqrt{3}}}{4}=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}{（{x-\frac{3}{2}}）^2}+\frac{{9\sqrt{3}}}{16}（{0≤x≤3}）$，
∴当$x=\frac{3}{2}$时，△PQR面积最小，最小值为$\frac{{9\sqrt{3}}}{16}$；

②Ⅰ．如上图，当0≤x≤1时，由对称性可得△DFM≌△ELK≌△FJI，
∴S=S_△DEF-3S_△DGM，
∵AP=BQ=CR=x，
∴PH=QS=RN=1-x，PB=3-x，
∵$\frac{HG}{BQ}=\frac{PH}{PB}$，
∴$HG=\frac{{x（{1-x}）}}{3-x}$，
∴$NJ=HG=\frac{{x（{1-x}）}}{3-x}$，
∴$DG=FJ=1+\frac{{x（{1-x}）}}{3-x}=\frac{{3-{x^2}}}{3-x}$，
∵$\frac{PH}{JF}=\frac{HI}{FI}$，且HF=2，
∴$FI=\frac{{3-{x^2}}}{3-2x}$，
∴$DM=FI=\frac{{3-{x^2}}}{3-2x}$，
∴${S_{△DGM}}=\frac{1}{2}×\frac{{3-{x^2}}}{3-x}×\frac{{3-{x^2}}}{3-2x}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}{{（{{x^2}-3}）}^2}}}{{4（{x-3}）（{2x-3}）}}$，
∵${S_{△DEF}}=\frac{1}{2}×3×3×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$，
∴$S=\frac{{9\sqrt{3}}}{4}-\frac{{3\sqrt{3}{{（{{x^2}-3}）}^2}}}{{4（{x-3}）（{2x-3}）}}（{0≤x≤1}）$；
Ⅱ．当1≤x≤2时，重合部分面积即为△PQR的面积，
∴$S=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}{x^2}-\frac{{9\sqrt{3}}}{4}x+\frac{{9\sqrt{3}}}{4}=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}{（{x-\frac{3}{2}}）^2}+\frac{{9\sqrt{3}}}{16}（{1≤x≤2}）$；
Ⅲ．当2≤x≤3时，如右图，与0≤x≤1呈对称形，仅需将x替换为3-x即可，
∴$S=\frac{{9\sqrt{3}}}{4}-\frac{{3\sqrt{3}{{[{{{（{3-x}）}^2}-3}]}^2}}}{{4（{3-x-3}）（{6-2x-3}）}}=\frac{{9\sqrt{3}}}{4}-\frac{{3\sqrt{3}{{（{{x^2}-6x+6}）}^2}}}{{4x（{2x-3}）}}（{2≤x≤3}）$．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了中心对称图形的性质，等边三角形的性质以及二次函数的最值的综合应用，解决问题的关键是根据图形进行分类讨论．确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标．