Question

在平面直角坐标系xOy中，已知A（-2，0），B（3，0），C（5，6），过点C作x轴的平行线交y轴于点D．
（1）若直线y=kx+b过B、C两点，求k、b的值．
（2）如图，P是线段BC上的点，PA交y轴于点Q，若点P的横坐标为4，求S_PCDQ；
（3）设点E在线段DC上，AE交y轴于点F，若∠CEB=∠AFB，求cos∠BAE的值．

Answer 1

分析：（1）因为直线y=kx+b过B、C两点，所以利用待定系数法即可求出函数的解析式；
（2）因为点P的横坐标为4，所以可求出P（4，3）．
利用待定系数法求出AP的解析式，再求它与y轴的交点Q（0，1）．
所以S_PCDQ=梯形OBCD的面积-（三角形APB的面积-三角形AQO的面积）=（5+3）×6÷2-（3+2）×3÷2+2×1÷2=17.5；
（3）可设OF=a，△ABE的高为NE，因为△ABF与△ABE的底同是AB，且高分别为OF，NE，所以

SABF

SABE

=

OF

NE

，又因∠CEB=∠ABE=∠AFB，所以可求△ABF∽△AEB，S_△ABF：S_△AEB=AF²：AB²，进而有AF²=

OF

NE

•AB²=

25

6

a．
Rt△AOF中，由勾股定理，得AF²=AO²+OF²=4+a²，可解得a的值，进而求出AF的值，解决问题．

解答：解：（1）因为直线y=kx+b过B、C两点，
所以

0=3k+b 6=5k+b

，
解得

k=3 b=-9

．

（2）因为y=3x-9，令x=4，则y=3．即P（4，3）．
设AP：y=kx+b，则

0=-2k+b 3=4k+b

，即

k= 1 2 b=1

．
所以AP的解析式为y=

1

2

x+1，它与y轴的交点Q（0，1）．
所以S_PCDQ=梯形OBCD的面积-（三角形APB的面积-三角形AQO的面积）=（5+3）×6÷2-（3+2）×3÷2+2×1÷2=17.5；

（3）设OF=a，△ABE的高为NE．
∵△ABF与△ABE的底同是AB，且高分别为OF，NE，
∴

SABF

SABE

=

OF

NE

，
∵∠A=∠A，∠CEB=∠ABE=∠AFB，
∴△ABF∽△AEB，
∴S_△ABF：S_△AEB=AF²：AB²，
∴（

AF

AB

）²=

OF

NE

，
∴AF²=

OF

NE

•AB²=

25

6

a．
在Rt△AOF中，由勾股定理，得
AF²=AO²+OF²=4+a²，
∴4+a²=

25

6

a，6a²-25a+24=0，
解得a₁=

8

3

，a₂=

3

2

．
当a=

8

3

时，AN=12÷

8

3

=4.5．则DE=ON=4.5-2=2.5，此时点E在DC上；
当a=

3

2

时，AN=12÷

3

2

=8．则DE=ON=8-2=6＞5，此时点E不在DC上，故舍去．
∴当a=

8

3

时，AF=

10

3

，
故cos∠BAE=

3

5

．

点评：本题需仔细分析题意，利用待定系数法和相似三角形的性质即可解决问题．