分析 (1)由点A、B、C的坐标,利用待定系数法求解即可;
(2)先利用待定系数法求得直线BD的解析式,进而可设P(m,$-\frac{1}{2}$m2+$\frac{3}{2}$m+2),Q(m,$\frac{1}{2}$m-2),然后利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,由PQ=CD列出关于m的方程,求解即可;
(3)分两种情况:点D为直角顶点与点B为直角顶点,分别过直角顶点作BD的垂线,求出其解析式,然后与抛物线联立得到方程组,求出方程组的解即为点P的坐标.
解答 解:(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
∵二次函数的图象经过点A、B、C,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$,
解得a=$-\frac{1}{2}$,b=$\frac{3}{2}$,c=2,
∴二次函数的解析式为y=$-\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2;
(2)如图1,∵点D是点C关于x轴的对应点,C(0,2),
∴D(0,-2),
设直线BD的解析式为y=kx+n(k≠0),
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=-2}\\{4k+n=0}\end{array}\right.$,
解得k=$\frac{1}{2}$,n=-2,
则直线BD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2,
由点P在抛物线上,点Q在BD上,PE⊥x轴,E(m,0),
设P(m,$-\frac{1}{2}$m2+$\frac{3}{2}$m+2),Q(m,$\frac{1}{2}$m-2),
∵PQ∥CD,
∴当PQ=CD时,四边形CDQP是平行四边形,
∴$-\frac{1}{2}$m2+$\frac{3}{2}$m+2-($\frac{1}{2}$m-2)=4,
解得m1=2,m2=0(舍去),
∴m的值为2;
(3)①如图2,当点D为直角顶点时,过点D作DP⊥BD,交抛物线于点P,
∵直线BD:y=$\frac{1}{2}$x-2,
∴设直线DP的解析式为y=-2x+d,
由D(0,-2),得d=-2,则直线DP的解析式为y=-2x-2,
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\\{y=-2x-2}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=-18}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$,
∴点P的坐标为(8,-18)或(-1,0);
②如图3,当点B为直角顶点时,过点B作BP⊥BD,交抛物线于点P,
设直线BP:y=-2x+e,
由B(4,0),得-8+e=0,解得e=8,
∴直线BP:y=-2x+8,
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\\{y=-2x+8}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$,
∴点P的坐标为(3,2),
综上所述,点P的坐标为P1(8,-18),P2(-1,0),P3(3,2).
点评 本题考查了二次函数的综合应用,平行四边形的判定,用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式,一次函数与二次函数的交点问题等知识,具有一定的综合性,解答本题时要数形结合思想与方程思想的应用,解答(3)的关键是运用分类讨论思想,不要漏解.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 8$\sqrt{3}$ | B. | 4$\sqrt{3}$ | C. | 8 | D. | 4$\sqrt{2}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | y1<y3<y2 | B. | y2<y3<y1 | C. | y3<y2<y1 | D. | y1<y2<y3 |
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