Question

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点A（-1，0），B（4，0），C（0，2），点D是点C关于原点的对称点，联结BD，点E是x轴上的一个动点，设点E的坐标为（m，0），过点E作x轴的垂线l交抛物线于点P．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点E在线段OB上运动时，直线l交BD于点Q，当四边形CDQP是平行四边形时，求m的值；
（3）是否存在点P，使△BDP是不以BD为斜边的直角三角形？如果存在请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点A、B、C的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）先利用待定系数法求得直线BD的解析式，进而可设P（m，$-\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），Q（m，$\frac{1}{2}$m-2），然后利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由PQ=CD列出关于m的方程，求解即可；
（3）分两种情况：点D为直角顶点与点B为直角顶点，分别过直角顶点作BD的垂线，求出其解析式，然后与抛物线联立得到方程组，求出方程组的解即为点P的坐标．

解答 解：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
∵二次函数的图象经过点A、B、C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得a=$-\frac{1}{2}$，b=$\frac{3}{2}$，c=2，
∴二次函数的解析式为y=$-\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（2）如图1，∵点D是点C关于x轴的对应点，C（0，2），
∴D（0，-2），
设直线BD的解析式为y=kx+n（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=-2}\\{4k+n=0}\end{array}\right.$，
解得k=$\frac{1}{2}$，n=-2，
则直线BD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，
由点P在抛物线上，点Q在BD上，PE⊥x轴，E（m，0），
设P（m，$-\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），Q（m，$\frac{1}{2}$m-2），
∵PQ∥CD，
∴当PQ=CD时，四边形CDQP是平行四边形，
∴$-\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2-（$\frac{1}{2}$m-2）=4，
解得m₁=2，m₂=0（舍去），
∴m的值为2；

（3）①如图2，当点D为直角顶点时，过点D作DP⊥BD，交抛物线于点P，
∵直线BD：y=$\frac{1}{2}$x-2，
∴设直线DP的解析式为y=-2x+d，
由D（0，-2），得d=-2，则直线DP的解析式为y=-2x-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\\{y=-2x-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=-18}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（8，-18）或（-1，0）；
②如图3，当点B为直角顶点时，过点B作BP⊥BD，交抛物线于点P，
设直线BP：y=-2x+e，
由B（4，0），得-8+e=0，解得e=8，
∴直线BP：y=-2x+8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\\{y=-2x+8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（3，2），
综上所述，点P的坐标为P₁（8，-18），P₂（-1，0），P₃（3，2）．

点评 本题考查了二次函数的综合应用，平行四边形的判定，用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，一次函数与二次函数的交点问题等知识，具有一定的综合性，解答本题时要数形结合思想与方程思想的应用，解答（3）的关键是运用分类讨论思想，不要漏解．