Question

14．如图，矩形纸片ABCD，DC=8，AD=6．
（1）如图（1），点E在边AD上且AE=2，以点E为顶点作正方形EFGH，顶点F，H分别在矩形ABCD的边AB，CD上，连接CG，求∠HCG的度数；
（2）请从A、B两题中任选一题解答，我选择A（或B）．
A．如图（2），甲同学把矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形MPNQ，判断并说明四边形MPNQ的形状．
B．如图（3），乙同学把（1）中的“正方形EFGH”改为“菱形EFGH”，其余条件不变，此时点G落在矩形ABCD的外部，已知△CGH的面积是4，求菱形EFGH的边长及面积．

Answer 1

分析 （1）先根据条件判定△AFE≌△DEH≌△KHG，得出AE=DH=GK=2，DE=HK，进而得出GK=CK，即△CGK为等腰直角三角形，据此得出∠HCG的度数；
（2）①若选A题，则根据折叠的性质，求得∠PMQ=∠PME+∠QME=$\frac{1}{2}$∠DME+$\frac{1}{2}$∠AME=$\frac{1}{2}$∠AMD=90°，同理可得，∠MQN=90°，∠PNQ=90°，进而得出四边形MPNQ的形状是矩形；
②若选B题，则需要连接HF，过G作GP⊥CD的延长线于P，再根据矩形和菱形的性质，判定△AEF≌△PGH（AAS），得出PG=AE=2，再根据△CGH的面积是4，求得CH的长，进而在Rt△DEH中，根据勾股定理得出EH=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，即菱形EFGH的边长为4$\sqrt{2}$，最后根据菱形EFGH的面积=2×△EFH的面积=2×（四边形ADHF的面积-△DEH的面积-△AEF的面积），进行计算求解即可．

解答 解：（1）过点G作GK⊥CD于点K，
∵四边形ABCD为矩形，DC=8，AD=6，
∴∠A=∠D=∠HKG=90°，
∵四边形EFGH为正方形，
∴∠FEH=∠EHG=90°，EF=EH=HG，
∴∠AFE=∠DEH=∠KHG，
∴△AFE≌△DEH≌△KHG，
∴AE=DH=GK=2，DE=HK，
∵DC=8，AD=6，
∴CK=DC-DH=8-6=2，
∴GK=CK，
∴∠KCG=∠CGK=45°，
即∠HCG的度数是45°；

（2）选A题，四边形MPNQ的形状是矩形．
证明：如图2，∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵DM与EM重合，AM与EM重合，
∴PM平分∠DME，QM平分∠AME，
∴∠PMQ=∠PME+∠QME=$\frac{1}{2}$∠DME+$\frac{1}{2}$∠AME=$\frac{1}{2}$∠AMD=90°，
同理可得，∠MQN=90°，∠PNQ=90°，
∴四边形MPNQ的形状是矩形．

选B题，
如图3，连接HF，过G作GP⊥CD的延长线于P，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，∠A=∠D=90°，
∴∠AFH=∠PHF，
∵四边形EFGH为菱形，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴∠1=∠2，
∴∠AFE=∠PHG，
又∵GP⊥DP，
∴∠P=∠A=90°，
在△AEF和△PGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠P}\\{∠AFE=∠PHG}\\{EF=HG}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△PGH（AAS），
∴PG=AE=2，
∵△CGH的面积是4，
∴$\frac{1}{2}$×HC×PG=4，
∴HC=4，
∵CD=8，AD=6，AE=2，
∴DH=8-4=4，DE=6-2=4，
∴Rt△DEH中，EH=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴EF=4$\sqrt{2}$，即菱形EFGH的边长为4$\sqrt{2}$，
∴Rt△AEF中，AF=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴菱形EFGH的面积=2×△EFH的面积
=2×（四边形ADHF的面积-△DEH的面积-△AEF的面积）
=2×[$\frac{1}{2}$（DH+AF）×AD-$\frac{1}{2}$×DH×ED-$\frac{1}{2}$×AE×AF]
=2×[$\frac{1}{2}$（4+2$\sqrt{7}$）×6-$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{7}$]
=（4+2$\sqrt{7}$）×6-4×4-2×2$\sqrt{7}$
=8+8$\sqrt{7}$．
∴菱形EFGH的边长及面积分别为4$\sqrt{2}$和8+8$\sqrt{7}$．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了矩形、菱形和正方形的性质，勾股定理，折叠的性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握几种特殊四边形的性质，通过作辅助线构造等腰直角三角形和全等三角形．解题时注意，运用割补法求菱形的面积比较合适．