Question

如图1，已知抛物线y=ax²-2ax+b经过梯形OABC的四个顶点，若BC=10，梯形OABC的面积为18．
（1）求抛物线解析式；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，平移后的两条直线分别交抛物线于点O₁、A₁、C₁、B₁，得到如图2的梯形O₁A₁B₁C₁．设梯形O₁A₁B₁C₁的面积为S，A₁、B₁的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．用含S的代数式表示x₂-x₁，并求出当S=36时点A₁的坐标；
（3）如图3，设图1中点D坐标为（1，3），M为抛物线的顶点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y=ax²-2ax+b，可知对称轴方程，从而得到点A的坐标；再根据BC=10，梯形OABC的面积为18，可求B，C的坐标，再将O、B两点的坐标代入y=ax²-2ax+b，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）在两条直线平移的过程中，梯形的上下底发生了改变，但是梯形的高没有变化，仍为3，即y₂-y₁=3，根据抛物线的解析式，用x₁、x₂表示出y₁、y₂，然后联立y₂-y₁=3，可得到第一个关于x₁、x₂的关系式①；在两条直线平移过程中，抛物线的对称轴没有变化，用x₁、x₂以及抛物线的对称轴的解析式表示出梯形上下底的长，进而得到梯形面积的表达式，这样得到另外一个x₁、x₂的关系式②，联立这两个关系式，得到关于（x₂-x₁）与S的关系式③，将S=36代入②③的关系式中，即可列方程组求得x₁、x₂的值，进而可求出点A₁的坐标；
（3）要解答此题，首先要弄清几个关键点：
一、当PQ∥AB时，设直线AB与抛物线对称轴的交点为E，可得△DPQ∽△DBE，可用t表示出DP、DQ的长，而E点坐标易求得，根据相似三角形所得比例线段，即可得到此时t的值即t=

15

7

；
二、当P、Q都停止运动时，显然BC＞DM，所以此时t=DM÷1=3

1

8

．
设直线PQ与直线AB的交点为F，与x轴的交点为G；假设直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似．显然t=

15

7

不合题意，舍去，所以分两种情况讨论：①当0＜t＜

15

7

时，由题意知△FQE∽△FAG，得∠FGA=∠FEQ，由于BC∥x轴，则∠DPQ=∠FGA=∠FEQ，由此可证得△DPQ∽△DEB，DB、DE的长已求得，可用t表示出DP、DQ的长，根据相似三角形所得比例线段，即可求得此时t的值；
②当

15

7

＜t＜3

1

8

时，方法同①；
在求得t的值后，还要根据各自的取值范围将不合题意的解舍去．

解答：解：（1）∵y=ax²-2ax+b=a（x-1）²-a+b，
∴对称轴为：直线x=1，
∴点A的坐标为（2，0）；
∵BC=10，梯形OABC的面积为18，
∴梯形OABC的高为：18×2÷（10+2）=3，
∴B（10÷2+1，3），即B（6，3），
C（1-10÷2，3），即C（-4，3）．
将O（0，0），B（6，3）代入y=ax²-2ax+b，
得

b=0 36a-12a+b=3

，
解得

a= 1 8 b=0

，
∴抛物线解析式为：y=

1

8

x²-

1

4

x；

（2）由题意得y₂-y₁=3，y₂-y₁=

1

8

x₂²-

1

4

x₂-

1

8

x₁²+

1

4

x₁=3，
得：（x₂-x₁）[

1

8

（x₂+x₁）-

1

4

]=3①，
S=

2(x1-1+x2-1)×3

2

=3（x₁+x₂）-6，
得：x₁+x₂=

S

3

+2②，
把②代入①并整理得：x₂-x₁=

72

s

（S＞0），
当s=36时，

x2+x1=14 x2-x1=2

，
解得：

x1=6 x2=8

，
把x₁=6代入抛物线解析式，得y₁=

1

8

×6²-

1

4

×6=3，
∴点A₁（6，3）；

（3）存在t=

20

7

秒，可使直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似．理由如下：
易知直线AB的解析式为y=

3

4

x-

3

2

，可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为（1，-

3

4

），
∴BD=5，DE=

15

4

，DP=5-t，DQ=t，
当PQ∥AB时，

DQ

DE

=

DP

DB

，
即

t

15 4

=

5-t

5

，解得t=

15

7

．
设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G．假设直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似．下面分两种情况讨论：
①当0＜t＜

15

7

时，如图3-1；
∵△FQE∽△FAG，
∴∠FGA=∠FEQ，
∴∠DPQ=∠DEB；
易得△DPQ∽△DEB，
∴

DQ

DB

=

DP

DE

，即

t

5

=

5-t

15 4

，
解得t=

20

7

＞

15

7

，
∴t=

20

7

不合题意，舍去；
②当

15

7

＜t＜3

1

8

时，如图3-2；
∵△FAG∽△FQE，
∴∠FAG=∠FQE，
∵∠DQP=∠FQE，∠FAG=∠EBD，
∴∠DQP=∠DBE，
易得△DPQ∽△DEB，
∴

DQ

DB

=

DP

DE

，即

t

5

=

5-t

15 4

，
解得t=

20

7

，符合题意．
综上，可知当t=

20

7

秒时，直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似．

点评：本题考查了二次函数的综合类试题，涉及到：二次函数解析式的确定、等腰梯形的性质、图形面积的求法、相似三角形的判定和性质等重要知识；在（3）题中能够正确地画出图形，并准确地找到所求的三角形是解答此题的关键．