Question

某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当做数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入．
（1）小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明；
（2）小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规完：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平．
（3）在（2）的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问小军至少几次进入迷宫中心？

Answer 1

分析：游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．

解答：解：（1）树状图，

P_{（进入迷宫中心）}=

4

12

=

1

3

；（3分）

（2）不公平，理由如下：
法一：由树状图可知，P_{（5的倍数）}=

1

3

，P_{（非5的倍数的奇数）}=

2

12

=

1

6

，
P_{（非5的倍数的偶数）}=

6

12

=

1

2

．所以不公平．
法二：从（1）中树状图得知，不是5的倍数时，
结果是奇数的有2种情况，而结果是偶数的有6种情况，显然小李胜面大，所以不公平．
法三：由于积是5的倍数时两人得分相同，所以可直接比较积不是5的倍数时，奇数、偶数的概率．
P_（奇数）=

1

4

，P_（偶数）=

3

4

，所以不公平．（6分）
可将第二道环上的数4改为任-奇数；（7分）

（3）设小军x次进入迷宫中心，则2x+3（10-x）≤28
解之得x≥2．
所以小军至少2次进入迷宫中心．

点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．