Question

如图在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD，AD与BE相交于F，CF⊥BE．求证：
（1）BE=AD；
（2）BF=2AF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：证明题,压轴题

分析：（1）根据等边三角形的性质得∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC，再根据“SAS”可判断△ABE≌△CAD，所以BE=AD；
（2）由△ABE≌△CAD得∠ABE=∠CAD，则∠BAD=∠CBE，∠BFK=∠BAF+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，由CF⊥BE可得∠FBK=30°，所以FK=

1

2

BF，再根据“AAS”可判断△ABK≌△BCF，则AK=BF，即AF+FK=BF，所以有BF=2AF．

解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC，
∵在△ABE和△CAD中

AB=AC ∠BAE=∠ACD AE=CD

，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE=AD；

（2）过B作AD的垂线，垂足为K，如图，
∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∵∠ABE+∠CBE=∠BAD+∠CAD=60°，
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠BFK=∠BAF+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，
∵CF⊥BE，
∴∠BEC=90°，
∴∠FBK=30°，
∴FK=

1

2

BF，
∵在△ABK和△BCF中

∠BAK=∠CBF ∠AKB=∠BFC AB=BC

，
∴△ABK≌△BCF（AAS），
∴AK=BF，即AF+FK=BF，
∴AF+

1

2

BF=BF，
∴BF=2AF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的性质．