分析 (1)首先由旋转的性质,可求得A(-2,0),C(0,2),D(4,2),然后由抛物线y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c经过点A,代入求得答案;
(2)分别求得抛物线y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c过原点与过D点时的b的取值,继而求得b的取值范围;
(3)①首先过点E作EH⊥OD,垂足为H,设EH=m,易得△EOF为等腰直角三角形,△EOH为等腰直角三角形,△DEH∽△DOC,则可求得OD=3m,继而求得m的值,则可求得答案;
②首先设E点横坐标为a,易得方程$\frac{1}{2}$(a2+4)+$\frac{1}{2}$×2(4-a)=6,继而求得答案.
解答 解:(1)由题意可得:A(-2,0),C(0,2),D(4,2),
∵抛物线经过点A,
∴-$\frac{1}{2}$×4-2b+c=0,
解得:c=2b+2;
(2)抛物线经过原点,c=0,2b+2=0,
解得:b=-1,
∵抛物线经过点D,则-$\frac{1}{2}$×16+4b+2b+2=2,
解得:b=$\frac{4}{3}$,
∴-1<b<$\frac{4}{3}$;
(3)①过点E作EH⊥OD,垂足为H,
设EH=m,
∵△EOF为等腰直角三角形,
∴∠FEO=45°,
∵EF∥OD,
∴∠EOD=45°,
在等腰直角△OEH中,EH=OH=m,
∵∠EHD=∠OCD=90°,∠D是公共角,
∴△DEH∽△DOC,
∴EH:DH=OC:CD=2:4,
∴Rt△EDH中,DH=2EH=2m,
∴OD=3m=2$\sqrt{5}$,
∴m=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$,
∴EF=$\sqrt{2}$OE=2OH=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$;
②设E点横坐标为a,
则S=S△OEF+S△ODE=$\frac{1}{2}$(a2+4)+$\frac{1}{2}$×2(4-a)=$\frac{{a}^{2}+4}{2}$+(4-a)=6,
解得:a=0或2,
∴点E的坐标为:(0,2)或(2,2),
代入抛物线得到:y=-$\frac{1}{2}$x2+2,y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{1}{2}$x+3.
点评 此题属于二次函数的综合题,考查了待定系数求函数解析式的知识、旋转的性质、等腰直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识.注意根据题意求得点A,C,D的坐标,准确作出辅助线是关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1个 | B. | 2个 | C. | 3个 | D. | 4个 |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{19}{2}$ | B. | $\frac{21}{2}$ | C. | 7 | D. | 13 |
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