Question

   问题提出

   平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆．那么平面内的四点(任意三点均不在同一

直线上），能否在同一个圆呢？

   初步思考

   设不在同一条直线上的三点A、B、C确定的圆为⊙O． 

    ⑴当C、D在线段AB的同侧时，

    如图①，若点D在⊙O上，此时有∠ACB＝∠ADB，理由是                 ；

如图②，若点D在⊙O内，此时有∠ACB     ∠ADB；

如图③，若点D在⊙O外，此时有∠ACB     ∠ADB．（填“＝”、“＞”或“＜”）；

由上面的探究，请直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：            ．

   类比学习

   （2）仿照上面的探究思路，请探究：当C、D在线段AB的异侧时的情形．

 

此时有             ，   此时有               ， 此时有              ．

由上面的探究，请用文字语言直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：    ．   

  拓展延伸

  （3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？

      已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．

      求作：CN⊥AB．

      作法：①连接CA，CB；

            ②在上任取异于B、C的一点D，连接DA，DB；

      ③DA与CB相交于E点，延长AC、BD，交于F点；

      ④连接F、E并延长，交直径AB于M；

      ⑤连接D、M并延长，交⊙O于N．连接CN．

   则CN⊥AB．

请按上述作法在图④中作图，并说明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的结论）

Answer 1

（1）同弧所对的圆周角相等．

  ∠ACB＜∠ADB，∠ACB＞∠ADB．

   答案不惟一，如：∠ACB＝∠ADB．················· 4分

（2）如图：

此时∠ACB＋∠ADB＝180°, 此时∠ACB＋∠ADB＞180°, 此时∠ACB＋∠ADB＜180

若四点组成的四边形对角互补，则这四点在同一个圆上．

（3）作图正确．

∵AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，

∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°．

∴点E是△ABF三条高的交点．

∴FM⊥AB．

∴∠EMB＝90°．

∠EMB＋∠EDB＝180°，

∴点E，M，B，D在同一个圆上．

∴∠EMD＝∠DBE．

又∵点N，C，B，D在⊙O上，

∴∠DBE＝∠CND，∠EMD＝∠CND．

∴FM∥CN．

∴∠CPB＝∠EMB＝90°．

∴CN⊥AB．

（注：其他正确的说理方法参照给分．）