Question

【题目】阅读材料：如图①，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点P的坐标为(xp，yp)．由xp－x1＝x2－xp，得xp＝，同理得yp＝，所以AB的中点坐标为P(,).由勾股定理得AB2＝|x2－x1|2＋|y2－y1|2，所以A，B两点间的距离公式为AB＝.

注：上述公式对A，B在平面直角坐标系中其他位置也成立．

解答下列问题：

如图②，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且BO＝OC＝3AO，连接BC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，试求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2－2x－3（2）P点坐标为(1，－1)或(1， )或(1，－ )或(1，－3＋)或(1，－3－)

【解析】试题分析：（1）由抛物线y＝ax2＋bx－3交y轴于点C，求出点C的坐标为(0，－3)，由BO＝OC＝3AO，可得点B的坐标为(3，0)，点A的坐标为(－1，0)．因为该抛物线与x轴交于A，B两点，即可求出a、b的值；

（2）△PBC是等腰三角形，分以下三种情况：①当PB＝PC；②当BC＝PB；③当BC＝PC时讨论即可.

试题解析：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－3交y轴于点C，

∴点C的坐标为(0，－3)，

∴OC＝3.

∵BO＝OC＝3AO，

∴BO＝3，AO＝1，

∴点B的坐标为(3，0)，点A的坐标为(－1，0)．

∵该抛物线与x轴交于A，B两点，

∴解得.

∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3；

(2)存在．由(1)知抛物线为y＝x2－2x－3，对称轴为直线x＝1.设P点的坐标为(1，m)．

∵B点的坐标为(3，0)，C点的坐标为(0，－3)，

∴BC＝3，PB＝，PC＝

.∵△PBC是等腰三角形，分以下三种情况：

①当PB＝PC时，则＝，

∴m＝－1，

∴P点的坐标为(1，－1)；

②当BC＝PB时，则3＝，

∴m＝±，

∴P点的坐标为(1， )或(1，－ )；

③当BC＝PC时，则3＝，

∴m＝－3±，

∴P点的坐标为(1，－3＋)或(1，－3－)．

综上所述，符合条件的P点坐标为(1，－1)或(1， )或(1，－ )或(1，－3＋)或(1，－3－)．