Question

若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x₁、x₂，则两根与方程系数之间有如下关系：，．这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题：
（1）应用一：用来检验解方程是否正确．
检验：先求x₁+x₂=______，x₁x₂=______．
再将你解出的两根相加、相乘，即可判断解得的根是否正确．（本小题完成填空即可）
（2）应用二：用来求一些代数式的值．
①已知：x₁、x₂是方程x²-4x+2的两个实数根，求（x₁-1）（x₂-1）的值；
②若a、b是方程x²+2x-2013=0的两个实数根，求代数式a²+3a+b的值．

Answer 1

解：（1）答案为：-，；

（2）①根据题意得x₁+x₂=4，x₁•x₂=2，
所以（x₁-1）（x₂-1）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=2-4+1=-1；
②∵a是方程x²+2x-2013=0的根，
∴a²+2a-2013=0，即a²=-2a+2013，
∴a²+3a+b=-2a+2013+3a+b
=a+b+2013，
∵a、b是方程x²+2x-2013=0的两个实数根，
∴a+b=-2，
∴a²+3a+b=-2+2013=2011．
分析：（1）根据根与系数的关系填空；
（2）①先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=4，x₁•x₂=2，再把（x₁-1）（x₂-1）展开，变形得到x₁•x₂-（x₁+x₂）+1，然后利用整体代入的方法计算；
②先根据方程的根的定义得到a²+2a-2013=0，即a²=-2a+2013，则原式=a+b+2013，然后根据根与系数的关系得到a+b=-2，再利用整体代入的方法计算．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程的解．