Question

11．如图，点O是△ABC内一点，连结OA、OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若BO⊥CO，M为EF的中点，且OA=8，OM=3，求四边形DEFG的周长．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=$\frac{1}{2}$BC，DG∥BC且DG=$\frac{1}{2}$BC，从而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF，再利用三角形中位线定理得出DE的长即可得出答案．

解答 （1）证明：∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DG∥BC，DG=$\frac{1}{2}$BC，
∵E、F分别是OB、OC的中点，
∴EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DG=EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；

（2）解：连接AO，
∵BO⊥CO，M为EF的中点，OM=3，
∴EF=2OM=6．
由（1）有四边形DEFG是平行四边形，
∴DG=EF=6，
∵D是AB的中点，E是BO的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AO=4，
∴四边形DEFG的周长为：4+4+6+6=20．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定和性质、三角形的中位线、直角三角形的性质，解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形．