Question

2、已知，如图，线段AB上有任一点M，分别以AM，BM为边长作正方形AMFE、MBCD．正方形AMFE、MBCD的外接圆⊙O、⊙O′交于M、N两点，则直线MN的情况是（　　）

A、定直线

B、经过定点

C、一定不过定点

D、以上都有可能

Answer 1

分析：连接NA，NB，根据四边形AMFE、MBCD都是正方形，得到∠ANM=∠BNM=45°，即∠ANM=90°，证得点N总在以AB为直径的圆上，延长NM交以AB为直径的圆于P点，可得到P为半圆的中点，由于AB固定，则点P为定点．

解答：解：连接NA，NB．如图，
∵四边形AMFE、MBCD都是正方形，
∴在⊙O中，∠ANM=45°；在⊙O′中，∠BNM=45°，
即∠ANM=90°，所以点N总在以AB为直径的圆上，
延长NM交以AB为直径的圆于P点．
∵∠ANM=∠BNM=45°，
∴弧PA=弧PB，即P为半圆的中点．由于AB固定，则点P为定点．
所以直线MN过定点P．
故选B．

点评：本题考查了圆周角定理及其讨论．同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；90度的圆周角所对的弦为直径．