Question

18．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，根据旋转的性质得出∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，求出A、B、E三点共线，解直角三角形求出即可；过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°，推出$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，求出∠BAC=∠DAC，BC=CD，求出CE=CF，根据圆内接四边形性质求出∠D=∠CBE，证△CBE≌△CDF，推出BE=DF，证△AEC≌△AFC，推出AE=AF，设BE=DF=x，得出5=x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可．

解答 解：解法一、∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD=60°，
∴∠BCD=180°-60°=120°，
∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB=30°，

如图1，
将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，
则∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，
∴∠ABC+∠EBC=（180°-CAB+∠ACB）+（180°-∠E-∠BCE）=180°，
∴A、B、E三点共线，
过C作CM⊥AE于M，
∵AC=CE，
∴AM=EM=$\frac{1}{2}$×（5+3）=4，
在Rt△AMC中，AC=$\frac{AM}{cos30°}$=$\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$；

解法二、过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
则∠E=∠CFD=∠CFA=90°，
∵点C为弧BD的中点，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠BAC=∠DAC，BC=CD，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠D=∠CBE，
在△CBE和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠D}\\{∠E=∠CFD}\\{CE=CF}\end{array}\right.$
∴△CBE≌△CDF，
∴BE=DF，
在△AEC和△AFC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠AFC}\\{∠EAC=∠FAC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$
∴△AEC≌△AFC，
∴AE=AF，
设BE=DF=x，
∵AB=3，AD=5，
∴AE=AF=x+3，
∴5=x+3+x，
解得：x=1，
即AE=4，
∴AC=$\frac{AE}{cos30°}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．