Question

17．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点E从点A出发，以每秒$\sqrt{5}$个单位长度的速度沿对角线AC向终点C运动，点F从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BA向终点A运动，连结EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，以EF，FG为边作正方形EFGH，设点E运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）用含t的代数式表示点E到边AB的距离．
（2）当点G落在边AB上时，求t的值．
（3）连结BG，设△BFG的面积为S平方单位（S＞0），求S与t之间的函数关系式．
（4）直接写出当正方形EFGH的顶点与点B，D距离相等时的t值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作EM⊥AB于M．由EM∥BC，可得$\frac{EM}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AM}{BA}$，即$\frac{EM}{2}$=$\frac{\sqrt{5}t}{2\sqrt{5}}$=$\frac{AM}{4}$，延长即可解决问题；
（2）如图2中，G在AB边时，由AF+FB=4，可得2t+2t=4，解方程即可；
（3）分两种情形①如图3中，当0＜t＜1时，作GN⊥AB于N，EM⊥AB于M．②如图4中，当1＜t≤2时，作GN⊥AB于N，EM⊥AB于M．分别求解即可；
（4）分三种情形①如图5中，当H在BD的垂直平分线上时，根据HD=HB列出方程即可解决问题；②当点E在BD的垂直平分线上时，易知AE=EC，t=1；③当点F在线段BD的垂直平分线上时，分别求解即可．

解答 解：（1）如图1中，作EM⊥AB于M．

∵AB=4，BC=2，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵EM∥BC，
∴$\frac{EM}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AM}{BA}$，
∴$\frac{EM}{2}$=$\frac{\sqrt{5}t}{2\sqrt{5}}$=$\frac{AM}{4}$，
∴EM=t，AM=2t．
∴点E到边AB的距离为t．

（2）如图2中，G在AB边时，

由AF+FB=4，可得2t+2t=4，
∴t=1．

（3）①如图3中，当0＜t＜1时，作GN⊥AB于N，EM⊥AB于M．

由△EMF≌△FNG，可得NG=FM=4-4t，
∴S=$\frac{1}{2}$•FB•GN=$\frac{1}{2}$•2t（4-4t）=-4t²+4t．

②如图4中，当1＜t≤2时，作GN⊥AB于N，EM⊥AB于M．

由△EMF≌△FNG，可得NG=FM=4t-4
S=$\frac{1}{2}$•FB•GN=$\frac{1}{2}$•2t（4t-4）=4t²-4t．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-4{t}^{2}+4t}&{（0＜t＜1）}\\{4{t}^{2}-4t}&{（1＜t≤2）}\end{array}\right.$．

（4）①如图5中，当H在BD的垂直平分线上时，

作HM⊥BC于M，延长MH交AD于N，作EP⊥AB于P，延长PE交MN于Q．
由△EPF≌△HQE可得HQ=EP=T．EQ=PF=4-4t，
在Rt△HND中，DH²=DN²+HN²=（3t-2）²+（3t）²，
在Rt△BHM中，BH²=（4-3t）²+（4-3t）²，
∴HD=HB，
∴（3t-2）²+（3t）²=4-3t）²+（4-3t）²，
∴t=$\frac{7}{9}$．

②当点E在BD的垂直平分线上时，易知AE=EC，t=1．


③当点F在线段BD的垂直平分线上时，

∵BF=DF=2t
在Rt△ADF中，2²+（4-2t²=（2t）²，
∴t=$\frac{5}{4}$，
综上所述，当正方形EFGH的顶点与点B，D距离相等时的t值为$\frac{7}{9}$s或1s或$\frac{5}{4}$s．

点评 本题考查矩形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会关键方程解决问题，注意中考压轴题．