Question

如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，∠AOD=65°，点E在BO上，AF∥CE交BD于点F．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）当点E在边BO上移动时，平行四边形AFCE能否为矩形？若能，此时BE的长为等于多少（直接写出结果）？若不能，请说明理由．
（3）当点E在边BO上移动时，平行四边形AFCE能否为菱形？若能，此BE的长为等于多少（直接写出结果）？若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,菱形的判定,矩形的判定

专题：几何动点问题,几何综合题,数形结合

分析：（1）由在平行四边形ABCD中，AF∥CE，易证得△AOF≌△COE，则可得OE=OF，又由OA=OC，即可判定四边形AFCE是平行四边形．
（2）当EF=AC时，平行四边形AFCE为矩形，由AC=6，BD=8，即可求得此时BE的长；
（3）由∠AOD=65°，可得AC与BD不垂直，即可得平行四边形AFCE不能为菱形．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AF∥CE，
∴∠OAF=∠OCE，
在△AOF和△COE中，

∠OAF=∠OCE OA=OC ∠AOF=∠COE

，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；

（2）平行四边形AFCE能为矩形．
理由：∵四边形AFCE是平行四边形，
∴当EF=AC=6时，平行四边形AFCE为矩形，
∵OE=OF，OB=OD，
∴BE=CF，
∴2BE+EF=BD，
即2BE+6=8，
解得：BE=1，
∴当BE=1时，平行四边形AFCE为矩形；

（3）平行四边形AFCE不能为菱形．
理由：∵四边形AFCE是平行四边形，且∠AOD=65°，
即AC与BD不垂直，
∴平行四边形AFCE不能为菱形．

点评：此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．