Question

6．如图，平面直角坐标系中，已知点A（0，8），点B（4，0）．
（1）求点O关于AB对称点的坐标；
（2）求点D（-2，3）关于直线AB的对称点坐标．

Answer 1

分析 （1）先设点O关于AB对称点为点E，连接OE、BE，作EC⊥x轴于C，再判定△OAB∽△COE，得出$\frac{EC}{OC}$=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，最后设点E（a，b），根据Rt△BCE中，BC²+EC²=BE²，列出方程求得点O关于AB对称点的坐标；
（2）先设点D关于AB对称点为点F，连接BD、BF，作FC⊥x轴于C，作DG⊥x轴于G，延长FD交x轴于P，判定△AOB∽△PCF∽△PGD，得出$\frac{DG}{PG}$=$\frac{FC}{PC}$=$\frac{OB}{AO}$=$\frac{1}{2}$，最后设点F（a，b），根据Rt△BCF中，BC²+FC²=BF²，列出方程求得点D关于AB对称点的坐标即可．

解答 解：（1）设点O关于AB对称点为点E，连接OE、BE，作EC⊥x轴于C，则
OB=EB，OE⊥AB，∠AOB=∠OCE，
∵∠OAB+∠AOB=∠COE+∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠COE，
∴△OAB∽△COE，
∵点A（0，8），点B（4，0），
∴OB=EB=4，AO=8，
∴$\frac{EC}{OC}$=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
设点E（a，b），则EC=b，OC=a=2b，BC=2b-4，
Rt△BCE中，BC²+EC²=BE²，（2b-4）²+b²=4²，
解得b=$\frac{16}{5}$，
∴a=$\frac{32}{5}$，
∴E（$\frac{32}{5}$，$\frac{16}{5}$），即点O关于AB对称点的坐标为（$\frac{32}{5}$，$\frac{16}{5}$）；

（2）设点D关于AB对称点为点F，连接BD、BF，则DF⊥AB，BD=BF，
∵点B（4，0），D（-2，3），
∴BD²=3²+6²=45=BF²，
作FC⊥x轴于C，作DG⊥x轴于G，延长FD交x轴于P，则∠PCF=∠AOB=∠PGD=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠P=∠OAB，
∴△AOB∽△PCF∽△PGD，
∵点A（0，8），点B（4，0），
∴OB=EB=4，AO=8，
∴$\frac{DG}{PG}$=$\frac{FC}{PC}$=$\frac{OB}{AO}$=$\frac{1}{2}$，
又∵D（-2，3），
∴GO=2，DG=3，PG=6，
∴PO=8，
设点F（a，b），则FC=b，OC=a，BC=a-4，PC=8+a=2b，
Rt△BCF中，BC²+FC²=BF²，
即（a-4）²+b²=45，
∴（2b-8-4）²+b²=45，
解得b=$\frac{33}{5}$，
∴a=2b-8=$\frac{26}{5}$，
∴F（$\frac{26}{5}$，$\frac{33}{5}$），即点D关于AB对称点的坐标为（$\frac{26}{5}$，$\frac{33}{5}$）．

点评 本题主要考查了坐标与图形变化，解决问题的关键是掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用以及轴对称的性质等，解题时注意需要作辅助线构造直角三角形和相似三角形．