【题目】如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点,其中点A(0,1),B(9,10),AC∥x轴,点P是直线AC下方抛物线上的动点。
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E.F,当四边形AECP的面积最大时,求点P的坐标和四边形AECP的最大面积;
(3)当点P为抛物线的顶点时,在直线AC上是否存在点Q,使得以C.P、Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。
【答案】(1) y= x2x+1;(2) 四边形AECP的面积最大值是,此时P(,);
(3) Q点的坐标为(4,1)或(3,1),理由见解析.
【解析】分析:(1)把点A,B的坐标代入抛物线的解析式中,求b,c;(2)设P(m,m22m+1),根据S四边形AECP=S△AEC+S△APC,把S四边形AECP用含m式子表示,根据二次函数的性质求解;(3)设Q(t,1),分别求出点A,B,C,P的坐标,求出AB,BC,CA;用含t的式子表示出PQ,CQ,判断出∠BAC=∠PCA=45°,则要分两种情况讨论,根据相似三角形的对应边成比例求t.
详解:(1)将A(0,1),B(9,10)代入函数解析式得:
×81+9b+c=10,c=1,解得b=2c=1,
所以抛物线的解析式y=x22x+1;
(2)∵AC∥x轴,A(0,1),
∴x22x+1=1,解得x1=6,x2=0(舍),即C点坐标为(6,1),
∵点A(0,1),点B(9,10),
∴直线AB的解析式为y=x+1,设P(m,m22m+1),∴E(m,m+1),
∴PE=m+1(m22m+1)=m2+3m.
∵AC⊥PE,AC=6,
∴S四边形AECP=S△AEC+S△APC=ACEF+ACPF
=AC(EF+PF)=ACEP
=×6(m2+3m)=m2+9m.
∵0<m<6,
∴当m=时,四边形AECP的面积最大值是,此时P();
(3)∵y=x22x+1=(x3)22,
P(3,2),PF=yFyp=3,CF=xFxC=3,
∴PF=CF,∴∠PCF=45,
同理可得∠EAF=45,∴∠PCF=∠EAF,
∴在直线AC上存在满足条件的点Q,
设Q(t,1)且AB=,AC=6,CP=,
∵以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似,
①当△CPQ∽△ABC时,
CQ:AC=CP:AB,(6t):6=,解得t=4,所以Q(4,1);
②当△CQP∽△ABC时,
CQ:AB=CP:AC,(6t)6,解得t=3,所以Q(3,1).
综上所述:当点P为抛物线的顶点时,在直线AC上存在点Q,使得以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似,Q点的坐标为(4,1)或(3,1).
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【题目】一个不透明的口袋中装有2个红球(记为红1、红2),1个白球、1个黑球,这些球除颜色外都相同,将球搅匀.
(1)从中任意摸出1个球,恰好摸到红球的概率是 ;
(2)先从中任意摸出一个球,再从余下的3个球中任意摸出1个球,请用画树状图或列表法求两次都摸到红球的概率.
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【题目】为庆祝“元旦”,光明学校统一组织合唱比赛,七、八年级共92人(其中七年级的人数多于八年级的人数,且七年级的人数不足90人)准备统一购买服装参加比赛.下面是某服装厂给出服装的价格表:
购买服装的套数 | 1套至45套 | 46套至90套 | 91套以上(含91套) |
每套服装的价格 | 60元 | 50元 | 40元 |
购买服装的套数 | 1套至45套 | 46套至90套 | 91套以上(含91套) |
每套服装的价格 | 60元 | 50元 | 40元 |
(1)如果两个年级分别单独购买服装一共应付5000元,求七、八年级各有多少学生参加合唱比赛;
(2)如果七年级参加合唱比赛的学生中,有10名同学抽调去参加绘画比赛,不能参加合唱比赛,请你为两个年级设计一种最省钱的购买服装方案.
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【题目】如图,点A的坐标为(0,1),点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作等腰直角△ABC,使∠BAC=90°,设点B的横坐标为x,则点C的纵坐标y与x的函数解析式是( )
A.y=xB.y=1﹣xC.y=x+1D.y=x﹣1
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【题目】如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°(点B,C,E在同一水平直线上),已知AB=80 m,DE=10 m,求障碍物B,C两点间的距离.(结果精确到0.1 m)(参考数据: ≈1.414,、≈1.732)
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【题目】已知数轴上,点A和点B分别位于原点O两侧,AB=14,点A对应的数为a,点B对应的数为b.
(1) 若b=-4,则a的值为__________.
(2) 若OA=3OB,求a的值.
(3) 点C为数轴上一点,对应的数为c.若O为AC的中点,OB=3BC,直接写出所有满足条件的c的值.
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【题目】已知△ABC中,∠ABC=∠ACB,D为射线CB上一点(不与C、B重合),点E为射线CA上一点,∠ADE=∠AED.设∠BAD=α,∠CDE=β.
(1)如图(1),
①若∠BAC=40°,∠DAE=30°,则α= ,β= .
②写出α与β的数量关系,并说明理由;
(2)如图(2),当D点在BC边上,E点在CA的延长线上时,其它条件不变,写出α与β的数量关系,并说明理由.
(3)如图(3),D在CB的延长线上,根据已知补全图形,并直接写出α与β的关系式.
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【题目】随着科技的进步,信息技术越来越发达,人民获得社会新闻信息的途径日益增多,为了解常德市民“获取新闻的最主要途径”,某报社记者在全市城区范围内随机抽取了n名市民,对其获取新闻的最主要途径进行问卷调查.问卷中的途径有:A.电脑上网;B.手机上网;C.电视;D.报纸;E.其他.每位市民在问卷调查时都按要求只选择了其中一种最主要的途径.记者收回了全部问卷后,将收集到的数据整理并绘制成如图不完整的统计图.
根据以上信息解答下列问题:
(l)求n的值.
(2)请补全条形统计图.
(3)根据统计结果,估计常德市城区80万人中.将B途径作为“获取新闻的最主要途径”的总人数.
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