Question

已知：关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax²-bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1．
（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；
（2）求代数式

(kc)2-b2+ab

akc

的值．

Answer 1

分析：（1）根据一元一次方程及根的条件，求k的值；
（2）把交点坐标代入二次函数的解析式求出值．

解答：解：（1）由kx=x+2，
得（k-1）x=2．
依题意k-1≠0．
∴x=

2

k-1

．
∵方程的根为正整数，k为整数，
∴k-1=1或k-1=2．
∴k₁=2，k₂=3．

（2）依题意，二次函数y=ax²-bx+kc的图象经过点（1，0），
∴0=a-b+kc，
kc=b-a，
∴

(kc)2-b2+ab

akc

=

(b-a)2-b2+ab

a(b-a)

=

b2-2ab+a2-b2+ab

ab-a2

=

a2-ab

ab-a2

=-1．

点评：考查抛物线与x轴的交点，要熟练掌握根的判别式与根的关系和二次函数图象性质．