Question

4．如图所示，A（4，2），P在y轴上，∠PAO=45°，求P的坐标．

Answer 1

分析 过A作AN⊥x轴于N，过P作PN⊥AM于N，推出△PMO∽△AON，根据相似三角形的性质得到$\frac{PM}{ON}=\frac{OM}{AN}$，由已知条件得到OA=$\sqrt{A{N}^{2}+O{N}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，根据等腰直角三角形的性质得到AM=PM，求得OM=2$\sqrt{5}$-PM，于是得到方程$\frac{PM}{4}=\frac{2\sqrt{5}-PM}{2}$，求出PM=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，然后根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：过A作AN⊥x轴于N，过P作PN⊥AM于N，
∴∠PMO=∠OAN=90°，
∴∠OPM+∠AOP=∠AOP+∠AON，
∴∠OPM=∠AON，
∴△PMO∽△AON，
∴$\frac{PM}{ON}=\frac{OM}{AN}$，
∵A（4，2），
∴AN=2，ON=4，
∴OA=$\sqrt{A{N}^{2}+O{N}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠OAP=45°，
∴AM=PM，
∴OM=2$\sqrt{5}$-PM，
∴$\frac{PM}{4}=\frac{2\sqrt{5}-PM}{2}$，
∴PM=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
∴OM=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴OP=$\sqrt{P{M}^{2}+O{M}^{2}}$=$\frac{10}{3}$，
∴P的坐标（0，$\frac{10}{3}$）．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．