Question

7．如图，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，△AEF的两条高相交于M，AC=a，EF=b，求AM的长．

Answer 1

分析 过点C作CG⊥AD交AD于点G，连接EG、FG，证出CG∥AE，四边形AECG是矩形，得出AE=GC，EG=AC=a，证出EM∥CF，得出∠AEM=∠GCF，四边形EMFC是平行四边形，得出EM=CF，由SAS证明△AEM≌△GCF，得出AM=GF，∠EAM=∠CGF，证出AM∥GF，得出GF⊥EF，由勾股定理求出GF，即可得出AM的长．

解答 解：过点C作CG⊥AD交AD于点G，连接EG、FG，如图所示：
∵AE⊥BC于点E，
∴CG∥AE，
又∵?ABCD的边AD∥BC，AE⊥BC
∴四边形AECG是矩形，
∴AE=GC，EG=AC=a，
∵EM⊥AF，AF⊥CD，
∴EM∥CF，
∴∠AEM=∠GCF，四边形EMFC是平行四边形，
∴EM=CF，
在△AEM和△GCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=GC}&{\;}\\{∠AEM=∠GCF}&{\;}\\{EM=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△GCF（SAS），
∴AM=GF，∠EAM=∠CGF，
∵∠EAG=∠CGD=90°，
∴∠MAG=∠FGD，
∴AM∥GF，
∵△AEF的两条高相交于M，
∴AM⊥EF，
∴GF⊥EF，
在Rt△EFG中，GF=$\sqrt{E{G}^{2}-E{F}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
∴AM=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．