Question

3．如图．在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，-4），C是x轴上一动点，过C作CD∥AB交y轴于点D．
（1）$\frac{OC}{OD}$值是$\frac{3}{4}$．
（2）若以A，B，C，D为顶点的四边形的面积等于54，求点C的坐标．
（3）将△AOB绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AO′B′，设D的坐标为（0，n），当点D落在△AO′B′内部（包括边界）时，求n的取值范围．（直接写出答案即可）

Answer 1

分析 （1）根据△AOB∽△COD，利用相似三角形的对应边相等即可求解；
（2）分成A在x轴负半轴上和A在x轴的正半轴上两种情况进行讨论，利用四边形的面积公式以及列方程求解；
（3）求得O′B′与y轴的交点坐标以及直线AB′与y轴的交点，即可求解．

解答 解：（1）∵A的坐标是（3，0），B的坐标是（0，-4），
∴OA=3，OB=4．
∵CD∥AB，
∴△AOB∽△COD，
∴$\frac{OC}{OD}$=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{3}{4}$；
（2）设OC=3x，则OD=4x，
则AC=3+3x，BD=4+4x，
当A在x轴负半轴上时：
∵四边形ABCD的面积是54，
∴$\frac{1}{2}$AC•BD=54，即$\frac{1}{2}$（3+3x）（4+4x）=54，
解得：x=2或-4（舍去）．
则C的坐标是（-6，0）；
当A在x轴的正半轴上时，S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$×3a•4a-$\frac{1}{2}$×3×4=54，
解得：a=$\sqrt{10}$或-$\sqrt{10}$（舍去）．
则C的坐标是（3$\sqrt{10}$，0）．
（3）O′的坐标是（3，3），
则O′B′与y轴的交点坐标是（0，3）；
则B′的坐标是（-1，3）．
设AB′的解析式是y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{-k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
则函数的解析式是y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{4}$，
当x=0时，y=$\frac{9}{4}$．即直线AB′与y轴的交点是（0，$\frac{9}{4}$）．
则n的范围是$\frac{9}{4}$≤n≤3．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，以及待定系数法求函数的解析式，正确确定点D落在△AO′B′内部（包括边界）时所在的范围是关键．