Question

△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：AD²+AE²=DE²；
（3）若此时CB=

3

+1，∠DCB=30°，求四边形CBDE的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）易证∠ACE=∠BCD，即可证明△ACE≌△BCD；
（2）由（1）结论可得∠EAC=∠B，即可求得∠EAD=90°，即可解题；
（3）作DF⊥BC，易求得DF的长，即可求得CD的长，根据四边形CBDE的面积=S_△CDE+S_△BCD即可解题．

解答：（1）证明：∵∠ACE+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
∵在△ACE和△BCD中，

CE=CD ∠ACE=∠BCD AC=BC

，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）证明：∵△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠B，
∵∠CAB+∠B=90°，
∴∠EAC+∠CAB=90°，即∠EAD=90°，
∴AD²+AE²=DE²；
（3）解：作DF⊥BC，

∵∠DCB=30°，∠B=45°，
∴CF=

3

DF，DF=BF，
∴（

3

+1）DF=

3

+1，
∴DF=1，
∴CD=2，
∴四边形CBDE的面积=S_△CDE+S_△BCD=

1

2

CD²+

1

2

BC•DF=2+

3 +1

2

=

3 +5

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，考查了特殊角的三角函数和三角函数在直角三角形中运用，本题中求证△ACE≌△BCD是解题的关键．