Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D为AC的中点，以AB为一边向外作等边三角形ABE，连结DE．
（1）证明：DE∥CB；
（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）连结BD，根据直角三角形的性质可得BD=$\frac{1}{2}$AC=AD，利用等边三角形的性质可得AE=BE，然后证明△ADE≌△BDE，进而可求出∠AED=∠BED=30°，
然后再证明∠BED+∠EBC=180°，从而可得结论；
（2）当AB=$\frac{1}{2}$AC或AC=2AB时，四边形DCBE是平行四边形，首先利用三角函数求出∠C=30°，然后证明DC∥BE，再有DE∥BC，可得四边形DCBE是平行四边形．

解答 （1）证明：连结BD．
∵点D为Rt△ABC的斜边AC的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$AC=AD，
∵△ABE是等边三角形，
∴AE=BE，
在△ADE与△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{AE=BE}\\{DE=ED}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BDE（SSS），
∴∠AED=∠BED=30°，
∵∠CBE=150°，
∴∠BED+∠EBC=180°，
∴DE∥CB；

（2）解：当AB=$\frac{1}{2}$AC或AC=2AB时，四边形DCBE是平行四边形． 
理由：∵AB=$\frac{1}{2}$AC，∠ABC=90°，
∴∠C=30°，
∵∠EBC=150°，
∴∠EBC+∠C=180°，
∴DC∥BE，
又∵DE∥BC，
∴四边形DCBE是平行四边形．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定，以及直角三角形的性质，等边三角形的性质，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．