Question

（1997•山东）一个圆的内接正六边形与外切正六边形的面积之比为

3：4

．

Answer 1

分析：经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C．连接OA，则在直角△OAC中，∠AOC=

1

2

×

180°

n

=30°．OC是边心距a，OA即半径

2 3

3

a，进而得出面积之比．

解答：解：设圆的半径为a．
经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C．连接OA，
∵在直角△OAC中，∠AOC=

1

2

×

180°

n

=30°，
∴外切正6边形的边心距OC等于a，边长=2OCtan30°=

2 3

3

a，
内接正六边形的边长=a，边心距等于

3

2

a，
∴外切正六边形与内接正六边形的面积之比为：6×

3

2

a²：6×

2 3

3

a²=3：4．
故答案为：3：4．

点评：此题主要考查了正多边形和圆，解决本题的关键是构造相应的直角三角形，得到分割的三角形的底边和高，进而求解．