Question

7．已知抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$，P是抛物线上的一个动点，R（1，1）是抛物线对称轴上的一点．
（I）求抛物线的顶点及与y轴交点的坐标；
（II）l是过点（0，-1）且平行于x轴的直线，l与抛物线的对称轴的交点为N，PM⊥MN，垂足为点M，连接PR，RM．
①当△RPM是等边三角形时，求P点的坐标；
②求证：PR=PM．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把抛物线解析式化为顶点式可求得顶点坐标，令x=0则可求得抛物线与y轴的交点坐标；
（Ⅱ）设P（x，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$，），①过R作RC⊥PM于点C，利用等边三角形的性质，可求得CM=2，且PM=2CM，可得到关于x的方程，可求得P点坐标；
②利用勾股定理可分别用x表示出PR和PM的长，可证得结论．

解答 解：
（Ⅰ）∵y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$（x-1）²，
∴抛物线顶点坐标为（1，0），
在y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$中，令x=0可求得y=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，$\frac{1}{4}$）；

（Ⅱ）设P（x，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$，），
①如图，过R作RC⊥PM于点C，

∵R（1，1），△PRM为等边三角形，
∴PM=2CM=2×[1-（-1）]=4，
∴$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$+1=4，解得x=1+2$\sqrt{3}$或x=1-2$\sqrt{3}$，
∴P点坐标为（1+2$\sqrt{3}$，3）或（1-2$\sqrt{3}$，3）；

②∵R（1，1），P（x，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$），M（x，-1），
∴PR²=（x-1）²+（$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$-1）²=$\frac{1}{4}$（x-1）⁴+$\frac{1}{2}$（x-1）²+1，
PM²=（$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$+1）²=$\frac{1}{4}$（x-1）⁴+$\frac{1}{2}$（x-1）²+1，
∴PR=PM．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质、等边三角形的性质、勾股定理、方程思想等知识．在（Ⅰ）中把抛物线化为顶点式是解题的关键，在（Ⅱ）①中设出P点坐标，根据等边三角形的性质得到关于P点坐标的方程是解题的关键，在（Ⅱ）②中用勾股定理表示出PR和PM的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．