Question

9．如图，已知一次函数y=k₁x+b的图象分别x轴，y轴交于A、B两点，且与反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$交于C、E两点，点C在第二象限，过点C作CD⊥x轴于点D，OD=1，OE=$\sqrt{10}$，cos∠AOE=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△OCE的面积．

Answer 1

分析 （1）首先过点E作EF⊥x轴，由OE=$\sqrt{10}$，cos∠AOE=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，可求得点E的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，进而求得C的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）由一次函数解析式求得B的坐标，然后根据△OCE的面积等于△BOC和△BOE的和即可求得．

解答 解：（1）过点E作EF⊥x轴，
∵在Rt△EOF中，cos∠AOE=$\frac{OF}{OE}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∵OE=$\sqrt{10}$，
∴OF=3，
∴EF=$\sqrt{O{E}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{10-9}$=1，
∴E（3，-1），
∴k₂=3×（-1）=-3，
∴反比例函数为y=-$\frac{3}{x}$；
∵OD=1，
∴C的横坐标为-1，
代入y=-$\frac{3}{x}$得，y=3，
∴C（-1，3），
把C（-1，3）和E（3，-1）代入y=k₁x+b得$\left\{\begin{array}{l}{-{k}_{1}+b=3}\\{3{k}_{1}+b=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$
则一次函数的解析式为y=-x+2；
（2）由一次函数的解析式为y=-x+2可知B（0，2），
∴S_△COE=$\frac{1}{2}$×2×1+$\frac{1}{2}$×2×3=4．

点评 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．