Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4．梯形的高DH与中位线EF交于点G，则下列结论中：
①△DGF≌△EBH；②四边形EHCF是菱形；③以CD为直径的圆与AB相切于点E．
正确的有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、0个

Answer 1

分析：根据已知利用全等三角形的判定，三角形的中位线定理，菱形的判定等知识对各个结论进行验证，从而得到答案．

解答：解：∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，
∴四边形ADHB是矩形，
∴CH=BC-BH=2．
∵FG是△DHC的中位线，
∴FG=CH÷2=1=BH，∠DGF=∠DHC=∠B=90°，
∴AB=DH=

CD2-CH2

=2

3

，
∴BE=

3

，
∴EH=

BE2+BH2

=2，
∴△DGF≌△EBH（HL）．  （1）成立
∵EF∥HC，EF=HC，
∴四边形EHCF是平行四边形，
∵EH=HC=2，
∴四边形EHCF是菱形（2）成立．
∵EF⊥AE，EF=2，
∴点F到AB的距离等于半径2，
∴以CD为直径的圆与AB相切于点E．  （3）成立
故选C．

点评：考查学生的综合能力，用到的知识点为：HL证得三角形全等；由已知邻边相等的平行四边形是菱形；圆与直线相切，圆心到切点的距离等于半径．