Question

（2011•成都）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．
（1）求证：AE=CK；
（2）如果AB=a，AD=（a为大于零的常数），求BK的长：
（3）若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形据ABCD是矩形，
∴AD=BC，
∵BK⊥AC，DH∥KB，
∴∠BKC=∠AED=90°，
∴△BKC≌△ADE，
∴AE=CK；
（2）∵AB=a，AD==BC，
∴AC===
∵BK⊥AC，
∴△BKC∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴BK=a，
∴BK=a．
（3）连接OF，

∵ABCD为矩形，
∴=，
∴EF=ED=×6=3，
∵F是EG的中点，
∴GF=EF=3，
∵△AFD≌△HBF，
∴HF=FE=3+6=9，
∴GH=6，
∵DH∥KB，ABCD为矩形，
∴AE²=EF•ED=3×6=18，
∴AE=3，
∵△AED∽△HEC，
∴==，
∴AE=AC，
∴AC=9，
则AO=．

解析