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如图,直线与x轴、y轴分别交于点A、C,经过A、C两点的抛物线与x轴的负半轴上另一交点为B,且tan∠CBO=3.

(1)求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D的坐标;
(2)若点P是射线BD上一点,且以点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似,求点P的坐标.
(1),D(-2,-1)(2)P的坐标为()或().

试题分析:(1)由直线可求得A、C的坐标,再由tan∠CBO=3,可求得B的坐标,用交点式可以求出抛物线解析式,通过配方即可求出顶点D的坐标;
(2)过D作DE⊥AB于E,可以得到∠CAO=∠ABD=45°,直线BD的方程为:,表示出PB的长,因为有一对角相等,所以只需要夹这个角的两边对应成比例,即可得到三角形相似,所以有两种情况:,分别求出PB,再求出P的坐标即可.
试题解析:(1)连结BC,由直线知,点A(-3,0)、C(0,3);∴OC=3,∵tan∠CBO=3,∴OB=1,∴B(-1,0);设,把C(0,3)代入得:,解得:,∴,∵,∴顶点D();

(2)过D作DE⊥AB于E,∵D (),B(-1,0),∴DE=1,BE=1,∴∠ABD=45°,∵A(-3,0)、C(0,3),∴OA=OC=3,∴∠CAO=45°,AO=CO=3,∴AC=,∴∠CAO=∠ABD.设直线BD为,把D (),B(-1,0)代入得:,解得:,∴直线BD为
∵点P在射线BD上,∴设P()且,则PB=,∵,∴PB=,∵∠CAO=∠ABD,∴有以下两种情况,可以使以点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似:
①当时,即,解得:,∴,∴P();

②当时,即,解得:,∴,∴P();
∴点P的坐标为()或().
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抛物线上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:




0
1
2

y

0
4
6
6
4

由上表可知,下列说法正确的个数是 (       )
①抛物线与x轴的一个交点为   ②抛物线与轴的交点为
③抛物线的对称轴是:       ④在对称轴左侧y随x增大而增大
A.1     B.2     C.3     D.4

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