如图.在平面直角坐标系中.点A.D(2.4)．点P从B点出发沿线段BA向点A匀速运动．点Q从点A沿线段AD匀速运动.点P.Q同时到达各自的终点．设点P的横坐标为m.过点P作x轴.y轴的垂线.垂足分别为E.F.设矩形PEOF与梯形AOCD重叠部分的面积为S(1)求S与m的函数关系式,(2)当点Q落在PE上时.求S的值,的条件下.以Q为圆心$\frac{1}{2}$个单位长为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

2．

如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），B（0，8），C（0，4），D（2，4）．点P从B点出发沿线段BA向点A匀速运动．点Q从点A沿线段AD匀速运动，点P，Q同时到达各自的终点．设点P的横坐标为m，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，设矩形PEOF与梯形AOCD重叠部分的面积为S
（1）求S与m的函数关系式；
（2）当点Q落在PE上时，求S的值；
（3）在（2）的条件下，以Q为圆心$\frac{1}{2}$个单位长为半径作⊙Q，求⊙Q在矩形PEOF内部时m的取值范围．

分析（1）先求得直线AB、AD的解析式，进而求得当y=4时，直线AB的自变量的值，从而根据m的取值，分三段求得解析式；
（2）根据题意求得P、Q、E共线时P的坐标，结合（1）情况，代入相应的解析式，求得即可．
（3）根据题意列出不等式组，解不等式组即可求得．

解答解：（1）∵点A（10，0），B（0，8），C（0，4），D（2，4）．
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{4}{5}$x+8，直线AD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+5，
把y=4代入y=-$\frac{4}{5}$x+8得，x=5，
当0≤m≤2时，如图1，

∵点P的横坐标为m，
∴OE=m，
∵OC=4，
∴S=4m，
当2＜m≤5时，如图2，

∵点P的横坐标为m，
∴OE=m，
∴M（m，-$\frac{1}{2}$m+5），EN=m-2，
S=8+$\frac{1}{2}$（4-$\frac{1}{2}$m+5）（m-2）
=-$\frac{1}{4}$m²+5m-1；
当5＜m≤10时，如图3，

∵点P的横坐标为m，
∴OE=m，
∴P（m，-$\frac{4}{5}$m+8），M（$\frac{8}{5}$m-6，-$\frac{4}{5}$m+8），G（m，-$\frac{1}{2}$m+5），
∴S=（-$\frac{4}{5}$m+8）（$\frac{8}{5}$m-6）+$\frac{1}{2}$（-$\frac{4}{5}$m+8-$\frac{1}{2}$m+5）（m-$\frac{8}{5}$m+6）
=-$\frac{89}{100}$m²+$\frac{49}{5}$m-9．
综上：S=$\left\{\begin{array}{l}{4m，（0≤m≤2）}\\{-\frac{1}{4}{m}^{2}+5m-1，（2＜m≤5）}\\{-\frac{89}{100}{m}^{2}+\frac{49}{5}m-9，（5＜m≤10）}\end{array}\right.$
（2）∵A（10，0），B（0，8），D（2，4）．
∴AB=$\sqrt{1{0}^{2}+{8}^{2}}$=$\sqrt{164}$，AD=$\sqrt{（10-2）^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{80}$，
∵点P，Q同时到达各自的终点，设P的速度为μ_P，Q的速度为μ_Q，
∴$\frac{AB}{{μ}_{P}}$=$\frac{AD}{{μ}_{Q}}$，
∴$\frac{{μ}_{P}}{{μ}_{Q}}$=$\frac{\sqrt{164}}{\sqrt{80}}$=$\sqrt{\frac{41}{20}}$，
∵当点Q落在PE上时，P、Q用了相同的时间，
∴$\frac{PB}{{μ}_{P}}$=$\frac{AQ}{{μ}_{Q}}$，
∴$\frac{PB}{AQ}$=$\frac{{μ}_{P}}{{μ}_{Q}}$=$\sqrt{\frac{41}{20}}$，
∴$\frac{P{B}^{2}}{A{Q}^{2}}$=$\frac{41}{20}$，
∵点P的横坐标为m，
∴PF=m，BF=8-（-$\frac{4}{5}$m+8）=$\frac{4}{5}$m，AE=10-m，EQ=-$\frac{1}{2}$m+5
∴PB²=m²+（$\frac{4}{5}$m）²=$\frac{41}{25}$m²，AQ²=（10-m）²+（-$\frac{1}{2}$m+5）²=$\frac{5}{4}$m²-25m+125，
∴20×$\frac{41}{25}$m²=41（$\frac{5}{4}$m²-15m+125），
整理得：9m²-500m+2500=0，
解得m₁=$\frac{50}{9}$，m₂=50（舍去），
∵$\frac{50}{9}$＞5，
∴S=-$\frac{89}{100}$m²+$\frac{49}{5}$m-9=-$\frac{89}{100}$×（$\frac{50}{9}$）²+$\frac{49}{5}$×$\frac{50}{9}$-9=$\frac{1456}{81}$．

（3）∵m=$\frac{50}{9}$，
∴Q（$\frac{50}{9}$，$\frac{25}{9}$），
∵⊙Q在矩形PEOF内部，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≥\frac{50}{9}+\frac{1}{2}}\\{m≤\frac{25}{9}+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac{59}{18}$≤m≤$\frac{109}{18}$．

点评本题是四边形的综合题，考查了三角形的面积、梯形的面积，勾股定理的应用，解不等式组等，分类讨论是本题的关键．

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