Question

【题目】（发现问题）

（1）如图1，已知△CAB和△CDE均为等边三角形，D在AC上，E在CB上，易得线段AD和BE的数量关系是　 　．

（2）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2的位置，直线AD和直线BE交于点F．

①判断线段AD和BE的数量关系，并证明你的结论；

②图2中∠AFB的度数是　 　．

（探究拓展）

（3）如图3，若△CAB和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F，分别写出∠AFB的度数，线段AD、BE间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）AD=BE；（2）①AD=BE，证明详见解析；②60°；（3）∠AFB=45°，AD=BE．

【解析】

（1）由等腰三角形的性质可求解；

（2）①由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得AD=BE；

②由全等三角形的性质可得∠ACD＝∠CBF，即可解决问题．

（3）结论：∠AFB=45°，AD=BE．证明△ACD∽△BCE，可得=，∠CBF=∠CAF，由此即可解决问题．

（1）∵△CAB和△CDE均为等边三角形，

∴CA=CB，CD=CE，

∴AD=BE，

故答案为：AD=BE；

（2）如图2中，

①AD=BE；

∵△ABC和△CDE均为等边三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE；

②∠AFB=60°；

∵△ACD≌△BCE，

∴∠ACD=∠CBF，

设BC交AF于点O．

∵∠AOC=∠BOF，

∴∠BFO=∠ACO=60°，

∴∠AFB=60°，

故答案为60°；

（3）结论：∠AFB=45°，AD=BE．

理由：如图3中，

∵∠ABC=∠DEC=90°，AB=BC，DE=EC，

∴∠ACD=45°+∠BCD=∠BCE，=，

∴△ACD∽△BCE，

∴=，∠CBF=∠CAF，

∴AD=BE，

∵∠AFB+∠CBF=∠ACB+∠CAF，

∴∠AFB=∠ACB=45°．