Question

如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为ι秒．

(1)当ι＝________时，点P与点Q相遇；

(2)在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？

(3)在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位．

①求s与ι之间的函数关系式；

②当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．

Answer 1

答案：
解析：

解答：解：(1)在直角△ABC中，AC＝＝4， 　　则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒．此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：3＋4＋5－4.5＝7.5． 　　根据题意得：(t－4.5)＋2(t－4.5)＝7.5，解得：t＝7． 　　(2)Q从C到A的时间是3秒，P从A到C的时间是3秒． 　　则当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC＝CQ，即3－t＝2t，解得：t＝1． 　　当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ＝PC(图1)．则Q在PC的中垂线上，作QH⊥AC，则QH＝PC．△AQH∽△ABC， 　　在直角△AQH中，AQ＝2t－4，则QH＝AQ＝． 　　∵PC＝BC－BP＝3－t， 　　∴×(2t－4)＝3－t， 　　解得：t＝； 　　(3)在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC＝t－3，BQ＝2t－9，即AQ＝5－(2t－9)＝14－2t． 　　同(2)可得：△PCQ中，PC边上的高是：(14－2t)， 　　故s＝(2t－9)×(14－2t)＝(－t2＋10t－2)． 　　故当t＝5时，s有最大值，此时，P在AC的中点．(图2)． 　　∵沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上， 　　∴PD一定是AC的中垂线． 　　则AP＝AC＝2，PD＝BC＝， 　　则S△APD＝AP·PD＝×2×＝． 　　AQ＝14－2t＝14－2×5＝4． 　　则PC边上的高是：AQ＝×4＝． 　　则S△PCQ＝PC·＝×2×＝． 　　故答案是：7． 　　点评：本题是相似三角形的性质，勾股定理、以及方程的综合应用，正确进行分类讨论是关键．

提示：

分析：(1)首先利用勾股定理求得AC的长度，点P与点Q相遇一定是在P由B到A的过程中，利用方程即可求得； 　　(2)分Q从C到A的时间是3秒，P从A到C的时间是3秒，则可以分当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC＝CQ，和当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ＝PC两种情况进行讨论求得t的值； 　　(3)在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC的长度是t－3，然后利用相似三角形的性质即可利用t表示出s的值，然后利用二次函数的性质即可求得t的值，从而求解．