【题目】如图,∠A=∠B=50°,P 为 AB 中点,点 M 为射线 AC 上(不与点 A 重合)的任意一点,连接 MP, 并使MP 的延长线交射线BD 于点N,设∠BPN=α.
(1)求证:△APM≌△BPN;
(2)当 MN=2BN 时,求α的度数;
(3)若△BPN 为锐角三角形时,直接写出α的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2)α=∠B=50°;(3)40°<α<90°.
【解析】
根据AAS可证明△APM≌△BPN.
由(1)中的全等得MN=2PN,所以BN=PN,由等边对等角可得结论.
三角形的外心是外接圆的圆心,三边垂直平分线的交点,直角三角形的外心在直角顶点上,钝角三角形的外心在三角形内部,只有锐角三角形的外心在三角形的内部,所以根据题目中要求可知:△BPN是锐角三角形,由三角形的内角和可得结论.
(1)∵P是AB的中点,
∴PA=PB,
在△APM和△BPN中,
∵,
∴△APM≌△BPN(ASA);
(2)由(1)得:△APM≌△BPN,
∴PM=PN,
∴MN=2PN,
∵MN=2BN,
∴BN=PN,
∴α=∠B=50°;
(3)∵△BPN是锐角三角形,
∵∠B=50°,
∴40°<∠BPN<90°,即40°<α<90°.
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【题目】对于平面内的∠M和∠N,若存在一个常数k>0,使得∠M+k∠N=360°,则称∠N为∠M的k系补周角.如若∠M=90°,∠N=45°,则∠N为∠M的6系补周角.
(1)若∠H=120°,则∠H的4系补周角的度数为 ;
(2)在平面内AB∥CD,点E是平面内一点,连接BE,DE.
①如图1,∠D=60°,若∠B是∠E的3系补周角,求∠B的度数;
②如图2,∠ABE和∠CDE均为钝角,点F在点E的右侧,且满足∠ABF=n∠ABE,∠CDF=n∠CDE(其中n为常数且n>1),点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点,在P点运动过程中,请你确定一个点P的位置,使得∠BPD是∠F的k系补周角,并直接写出此时的k值(用含n的式子表示).
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【题目】如图一次函数的图象与x轴、y轴交于点A、B,以线段AB为边在第一象限内作等边三角形ABC,
(1)求ABC的面积。
(2)如果在第二象限内有一点P(),试用含有a的代数式表示四边形ABPO的面积,并求出当
ABP的面积与
ABC的面积相等时a的值。
(3)在x轴上,是否存在点M,使MAB为等腰三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由。
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【题目】如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB.添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
(A)AB=BE (B)BE⊥DC (C)∠ADB=90° (D)CE⊥DE
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【题目】如图,点P在第一象限,△ABP是边长为2的等边三角形,当点A在x轴的正半轴上运动时,点B随之在y轴的正半轴上运动,运动过程中,点P到原点的最大距离是______;若将△ABP的PA边长改为,另两边长度不变,则点P到原点的最大距离变为______.
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【题目】如图,矩形ABCD中,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,点P在矩形ABCD内.若AB=4cm,BC=6cm,AE=CG=3cm,BF=DH=4cm,四边形AEPH的面积为5cm2,则四边形PFCG的面积为_______cm2.
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【题目】如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.
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【题目】如图:两个等边三角形△ABD与△BCE,连结AE与CD,
求证:(1)AE=CD;
(2)AE与DC之间的夹角为60°;
(3)AE与CD的交点设为H,BH平分∠AHC.
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