Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x-4分别与x轴、y轴交于点A和点B，抛物线y=ax²-3x+c经过A、B两点．点C为第四象限抛物线上一动点（不与点A、点B重合），过点C作CE⊥x轴于点E，交直线AB于点D．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设C点的横坐标为m，CD的长为n，求n关于m的函数关系式，并求n的最大值；
（3）当CD最长时，连结CB，将△BCD以每秒1个单位的速度沿射线BO方向平行移动，当点C运动到点E时停止运动．把运动过程中的△BCD记为△B′C′D′，设运动时间为t，△B′C′D′与四边形OBDE重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数解析式，并写出对应t的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由直线y=x-4分别与x轴、y轴交于点A和点B都在抛物线上，则先求出A，B坐标，皆可满足y=ax²-3x+c．由y=ax²-3x+c中只有两个未知数，所以代入两点即可求系数a、c，则解析式可求．
（2）由CD长n=D点纵坐标-C点纵坐标，又直线与抛物线解析式已知，且C、D横坐标都为m，代入可推出C点纵坐标、D点纵坐标，进而有n关于m的关系式．再由二次函数最值的性质，最值可确定．
（3）对于此题，求重叠面积可利用△BDC面积-未重叠部分面积为佳，若能知道△BDC的更多信息，题目就越易攻破．观察发现△BDC类似直角等腰三角形，且由点坐标易判断△AOB为等腰直角三角形，所以可以考虑先证其相似，进而有底边与高比例等相关信息．考虑移动全过程，图形关系可以大致分为三个阶段，一、D′在ED上，未重叠部分与△BDC相似，则可利用面积比等于边长比的平方表示其面积；二、D′在DE的延长线上，且B′在OB上，此时未重叠的部分是2个小三角形，此情形运动到最上端，恰好B′，C′分别于O，D重合；三、C点在ED上，此时未重叠部分也为一个三角形．分别表示出来各自关系，切记还要写出对应t的取值范围．

解答：解：（1）∵直线y=x-4分别与x轴、y轴交于点A和点B，
∴A（4，0），B（0，-4）
将A、B坐标代入y=ax²-3x+c，
解得 a=1，c=-4
∴抛物线的解析式为y=x²-3x-4．

（2）∵C点的横坐标为m，
∴D点的横坐标也为m．
∵C在y=x²-3x-4上，D在y=x-4上，
∴C（m，m²-3m-4），D（m，m-4），
∴n=（m-4）-（m²-3m-4）=-m²+4m，
由二次函数最值的性质，m=-

4

2×(-1)

=2时，n取最大值4．

（3）答：S=-

t2

4

+2t （0≤t≤2），S=-

3t2

4

+4t-2，（2＜t≤4），S=

t2

2

-6t+18，（4＜t≤6）．
（以下为分析过程，不用作答）
如图1，过点E作EF⊥CD于F，此时△AED∽△AOB，△AED∽△BFD，C（2，-6），D（2，-2），E（2，0），F（2，-4）．
在Rt△AOB中，
∵AO=OB=4，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠BDF=∠EDA=∠EAD=45°．
∵DF=FC，
∴∠BCF=∠BDF=45°
∴△BDC也为等腰直角三角形．
∵CD=4，BF=2，
∴S_△BDC=

1

2

•BF•CD=4．
情形①，如备用图1：D′在ED上（0≤t≤2），记BD交B′C′于点G，此时四边形B′GDD′为重叠部分面积，且△GDC′∽△BDC．
∵DD′=t，CD=4，
∴C′D=4-t．
∵△GDC′∽△BDC，
∴

S△GDC′

S△BDC

=

(C′D)2

CD2

∴S_△GDC′=4•

(4-t)2

42

=

t2

4

-2t+4．
∴S=S_△BDC-S_△GDC′=-

t2

4

+2t （0≤t≤2）．
情形②，如备用图2，D′在DE的延长线上，且B′在OB上，C′在CD上（2＜t≤4），记BD交B′C′于点G，OE交B′D′于点H，
此时五边形B′HEDG为重叠部分，且△GDC′∽△BDC，△ED′H∽△BDC．
∵CD=BO=4，
∴t=4时，C点运动至D点，B点运动至O点．
∵CC′=DD′=t，CD=4，ED=2，
∴C′D=4-t，D′E=t-2．
∵△ED′H为等腰直角三角形，
∴HD′=

2

D′E=

2

(t-2)．
∵△GDC′∽△BDC，△ED′H∽△BDC，
∴

S△GDC′

S△BDC

=

(C′D)2

CD2

，

S△ED′H

S△BDC

=

(HD′)2

CD2

，
∴S_△GDC′=4•

(4-t)2

42

=

t2

4

-2t+4，
  S_△ED′H=4•

2(t-2)2

42

=

t2

2

-2t+2，
∴S=S_△BDC-S_△GDC′-S_△ED'H=-

3t2

4

+4t-2（2＜t≤4）．
情形③，如备用图3，C′在DE的上（4＜t≤6），记OE与B′C′交于点I，此时△IEC′为重叠面积，且△EIC′∽△BDC．
∵CC′=t，EC=6，
∴EC′=6-t，
∵△EIC′为等腰直角三角形，
∴IC′=

2

EC′=

2

(6-t)．
∵△EIC′∽△BDC，
∴

S△EIC′

S△BDC

=

(C′I)2

CD2

∴S_△EIC'=4•

2(6-t)2

42

=

t2

2

-6t+18，
∴S=

t2

2

-6t+18（4＜t≤6）．
综上所述，S=-

t2

4

+2t （0≤t≤2），S=-

3t2

4

+4t-2（2＜t≤4），S=

t2

2

-6t+18（4＜t≤6）．

点评：本题考查了函数的图象的相关性质，并将一次函数与二次函数融合考查，虽然难度不高，但也考查学生的基本功．最后一问涉及到重叠面积，我们思考时因为要考虑变化图形的不变量，所以通常用“大面积-未重叠面积”的思路表达，其中应用了相似图形面积关系等知识．总体来说本题综合性比较高，但方法很常规，是一道质量较高的题目．