【题目】已知边长为1的正方形ABCD中,P是对角线AC上的一个动点(与点A. C不重合),过点P作PE⊥PB,PE交射线DC于点E,过点E作EF⊥AC,垂足为点F,当点E落在线段CD上时(如图),
(1)求证:PB=PE;
(2)在点P的运动过程中,PF的长度是否发生变化?若不变,试求出这个不变的值,若变化,试说明理由;
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)过点P作PG⊥BC于G,过点P作PH⊥DC于H,如图1.要证PB=PE,只需证到△PGB≌△PHE即可;(2)连接BD,如图2.易证△BOP≌△PFE,则有BO=PF,只需求出BO的长即可.
(1)①证明:过点P作PG⊥BC于G,过点P作PH⊥DC于H,如图1.
∵四边形ABCD是正方形,PG⊥BC,PH⊥DC,
∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45°.
∴PG=PH,∠GPH=∠PGB=∠PHE=90°.
∵PE⊥PB即∠BPE=90°,
∴∠BPG=90°∠GPE=∠EPH.
在△PGB和△PHE中,
.
∴△PGB≌△PHE(ASA),
∴PB=PE.
②连接BD,如图2.
∵四边形ABCD是正方形,∴∠BOP=90°.
∵PE⊥PB即∠BPE=90°,
∴∠PBO=90∠BPO=∠EPF.
∵EF⊥PC即∠PFE=90°,
∴∠BOP=∠PFE.
在△BOP和△PFE中,
,
∴△BOP≌△PFE(AAS),
∴BO=PF.
∵四边形ABCD是正方形,
∴OB=OC,∠BOC=90,
∴BC= OB.
∵BC=1,∴OB= ,
∴PF=.
∴点PP在运动过程中,PF的长度不变,值为.
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【题目】直线MN与直线PQ垂直相交于O,点A在直线PQ上运动,点B在直线MN上运动.
(1)如图1,已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线,点A、B在运动的过程中,∠AEB的大小是否会发生变化?若发生变化,请说明变化的情况;若不发生变化,试求出∠AEB的大小.
(2)如图2,已知AB不平行CD,AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线,又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线,点A、B在运动的过程中,∠CED的大小是否会发生变化?若发生变化,请说明理由;若不发生变化,试求出其值.
(3)如图3,延长BA至G,已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F,在△AEF中,如果有一个角是另一个角的3倍,试求∠ABO的度数.
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【题目】去冬今春,我市部分地区遭受了罕见的旱灾,“旱灾无情人有情”.某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件,其中饮用水比蔬菜多80件.
(1)求饮用水和蔬菜各有多少件?
(2)现计划租用甲、乙两种货车共8辆,一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学.已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件,每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件.则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案?请你帮助设计出来;
(3)在(2)的条件下,如果甲种货车每辆需付运费400元,乙种货车每辆需付运费360元.运输部门应选择哪种方案可使运费最少?最少运费是多少元?
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【题目】在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,在△ABC外作∠ACM= ∠ABC,点D为直线BC上的动点,过点D作直线CM的垂线,垂足为E,交直线AC于F.
(1)①当点D在线段BC上时,如图1所示,求∠EDC的度数
②探究线段DF与EC的数量关系,并证明;
(2)当点D运动到CB延长线上时,请你画出图形,并证明此时DF与EC的数量关系.
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【题目】如图1,在中,,,AB=4,点是边上动点(点不与点、重合),过点作,交边于点.
(1)求的大小;
(2)若把沿着直线翻折得到,设
① 如图2,当点落在斜边上时,求的值;
② 如图3,当点落在外部时,与相交于点,如果,写出与的函数关系式以及定义域.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,点M在CD边上,点N在正方形ABCD外部,且满足∠CMN=90°,CM=MN.连接AN,CN,取AN的中点E,连接BE,AC,交于F点.
(1) ①依题意补全图形;②求证:BE⊥AC.
(2)设AB=1,若点M沿着线段CD从点C运动到点D,则在该运动过程中,线段EN所扫过的面积为 (直接写出答案).
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【题目】甲、乙两组同时加工某种零件,乙组工作中有一次停产更换设备,更换设备后,乙组的工作效率是原来的2倍.两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(时)的函数图象如图所示.
(1)直接写出甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式;
(2)求乙组加工零件总量a的值;
(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱,每满300件装一箱,零件装箱的时间忽略不计,求经过多长时间恰好装满第1箱?
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【题目】某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查,要求每名学生必选且只能选一项,现随机抽查了m名学生,并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图.
请结合以上信息解答下列问题:
(1)m= ;
(2)请补全上面的条形统计图;
(3)在图2中,“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为 ;
(4)已知该校共有1200名学生,请你估计该校约有 名学生最喜爱足球活动.
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【题目】如图,四边形ABCD为平行四边形纸片.把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边上,折痕为AF.且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm.
(1)求证:平行四边形ABCD是矩形;
(2)求BF的长;
(3)求折痕AF长.
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