Question

13．八年级数学课上，王老师出示了如下框中的题目．

小聪与同桌小明讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况•探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例启发•解答题目
解：如图2，题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
提示如下：过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你继续完成以下的解答过程）
（3）拓展结论•设计新题
在等边三角形ABC中，若点E在直线AB上，点D在直线CB上，且ED=EC．若△ABC的边长为2，AE=4，则CD=2或6．（请你直接写出结果）．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠EDB=∠BCE=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；
（2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；
（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由三角形相似利用比例关系求出CD=6，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=2．

解答 解：
（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，
∴∠BCE=30°，BE=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠BCE=30°，
∵∠ABD=120°，
∴∠DEB=30°，
∴DB=EB，
∴AE=DB，
故答案为：=；
（2）AE=DB．
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．

∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°．
∴△AEF是等边三角形，AE=EF=AF．
∴BE=CF．
∵ED=EC，
∴∠ECD=∠D．
又∵∠ECF=60°-∠ECD，∠DEB=∠EBC-∠D=60°-∠D，
∴∠ECF=∠DEB．
在△BDE与△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{∠ECF=∠DEB}\\{ED=EC}\end{array}\right.$
∴△BDE≌△FEC（SAS），
∴BD=EF=AE．
∴AE=DB．
故答案为：=；
（3）解：CD=6或2，
分为两种情况：
①如图3

过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=1，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴△AMB∽△ENB，
∴$\frac{AB}{BE}$=$\frac{BM}{BN}$，
∴$\frac{2}{4-2}$=$\frac{1}{BN}$，
∴BN=1，
CN=2+1=3，
∴CD=2CN=6；
②如图4，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EN，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=1，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BM}{BN}$，
∴$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{MN}$，
∴MN=2，
∴CN=2-1=1，
∴CD=2CN=2，
综上所述CD=6或2，
故答案为：2或6．

点评 本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、相似三角形的判定和性质及分类讨论思想等知识点．第（3）题是难点，解题的关键是确定出有2种情况，求出每种情况的CD值．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．