Question

4．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．
（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题：
①求出△ABC的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；
（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点G的坐标代入抛物线的解析式中可求得m的值；
（2）①根据（1）中的m值写出抛物线的解析式，分别求抛物线与x轴和y轴的交点坐标，根据坐标特点写出AB和OC的长，利用三角形面积公式求△ABC的面积；
②由对称性可知：x=1，点A和B关于抛物线的对称轴对称，所以由轴对称的最短路径可知：连接BC与对称轴的交点即为点H，依据待定系数法可求得直线BC的解析式，将x=1代入得：y=$\frac{3}{2}$，则点H的坐标为（1，$\frac{3}{2}$）；
（3）在第四象限内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似，根据∠ACB与∠ABM为钝角，分两种情况考虑：①当△ACB∽△ABM时；②当△ACB∽△MBA时，利用相似三角形的判定与性质，确定出m的值即可．

解答 解：（1）把点G（2，2）代入抛物线y=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m）中得：
2=-$\frac{1}{m}$（2+2）（2-m），
m=4；

（2）①由（1）得抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{4}$（x+2）（x-4），
当x=0时，y=-$\frac{1}{4}$（0+2）（0-4）=2，
∴C（0，2），
∴OC=2，
当y=0时，-$\frac{1}{4}$（x+2）（x-4）=0，
x=-2或4，
∴A（-2，0），B（4，0），
∴AB=2+4=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×6×2=6；
则△ABC的面积是6；

②∵A（-2，0），B（4，0），
由对称性得：抛物线的对称轴为：x=1，
∵点A和B关于抛物线的对称轴对称，
∴连接BC与对称轴的交点即为点H，
此时AH+CH为最小，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B（4，0），C（0，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+2，
当x=1时，y=$\frac{3}{2}$，
∴H（1，$\frac{3}{2}$）；

（3）存在符合条件的点M，
由图形可知：∠ACB与∠ABM为钝角，
分两种情况考虑：
①当△ACB∽△ABM时，则有 $\frac{AC}{AB}=\frac{AB}{AM}$，即AB²=AC•AM，
∵A（-2，0），C（0，2），即OA=OC=2，
∴∠CAB=45°，∠BAM=45°，
如图2，过M作MN⊥x轴于N，则AN=MN，
∴OA+ON=2+ON=MN，
设M（x，-x-2）（x＞0），
把M坐标代入抛物线解析式得：-x-2=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m），
∵x＞0，
∴x+2＞0，
∵m＞0，
∴x=2m，即M（2m，-2m-2），
∴AM=$\sqrt{（2m+2）^{2}+（-2m-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$（m+1），
∵AB²=AC•AM，AC=2 $\sqrt{2}$，AB=m+2，
∴（m+2）²=2 $\sqrt{2}$•2 $\sqrt{2}$（m+1），
解得：m=2±2 $\sqrt{2}$，
∵m＞0，
∴m=2+2 $\sqrt{2}$；
②当△ACB∽△MBA时，则 $\frac{AB}{AM}=\frac{CB}{BA}$，即AB²=CB•MA，
∵∠CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=90°，
∴△ANM∽△BOC，
∴$\frac{MN}{AN}=\frac{OC}{BO}$，
∵OB=m，设ON=x，
∴$\frac{MN}{2+x}$=$\frac{2}{m}$，即MN=$\frac{2}{m}$（x+2），
令M[x，-$\frac{2}{m}$（x+2）]（x＞0），
把M坐标代入抛物线解析式得：-$\frac{2}{m}$（x+2）=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m），
同理解得：x=m+2，即M[m+2，-$\frac{2}{m}$（m+4）]，
∵AB²=CB•MA，CB=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，AN=m+4，MN=$\frac{2}{m}$（m+4），
∴（m+2）²=$\sqrt{{m}^{2}+4}$•$\sqrt{（m+4）^{2}+\frac{4（m+4）^{2}}{{m}^{2}}}$，
整理得：$\frac{16}{m}$=0，显然不成立，
综上，在第四象限内，当m=2 $\sqrt{2}$+2时，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似．

点评 本题是二次函数综合题，主要考查的是轴对称路径最短问题、待定系数法确定函数解析式、坐标与图形性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．