【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6.动点P从点A出发,沿AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动.当点P不与点A重合时,过点P作PD⊥AC于点D、PE∥AC,过点D作DE∥AB,DE与PE交于点E.设点P的运动时间为t秒.
(1)线段AD的长为 .(用含t的代数式表示).
(2)当点E落在BC边上时,求t的值.
(3)设△DPE与△ABC重叠部分图形的面积为S,求S与t之间的函数关系式.
(4)若线段PE的中点为Q,当点Q落在△ABC一边垂直平分线上时,直接写出t的值.
【答案】(1)4t;(2)t的值为1;(3)S=;(4)t的值为或或1.
【解析】
(1)解直角三角形求出AB,根据cosA==求解即可.
(2)首先证明四边形APED是平行四边形,由=,构建方程即可解决问题.
(3)分两种情形:①如图1中,当0<t≤1时,②如图3中,当1<t≤2时,分别求解即可.
(4)分三种情形:①如图4-1中,当点Q落在线段AC的垂直平分线MN上时.②如图4-2中,当点Q落在线段AB的垂直平分线MN上时.③如图4-3中,当点Q落在线段BC的垂直平分线上时,分别求解即可.
解:(1)如图1中,
在Rt△ACB中,∵∠C=90°,AC=8,BC=6,
∴AB===10,
∵PD⊥AC,
∴cosA==,
∴=,
∴AD=4t,
故答案为4t.
(2)如图2中,当点E落在BC上时,
∵DE∥AB,PE∥AD,
∴四边形APED是平行四边形,
∴DE=AP=5t,AD=PE=4t,
∴=,
∴=
解得t=1,
∴当点E落在BC边上时,t的值为1.
(3)①如图1中,当0<t≤1时,重叠部分是△PDE,
∵PE∥AD,
∴∠DPE=∠ADP=90°,
∵DE=5t,PE=4t,
∴PD=3t,
∴S=PDPE=×3t×4t=6t2.
②如图3中,当1<t≤2时,S=(MN+PD)PN= [3t+3t﹣(10﹣5t)](10﹣5t)=﹣18t2+48t﹣24.
综上所述,S=.
(4)①如图4﹣1中,当点Q落在线段AC的垂直平分线MN上时,
由题意:,可得,解得t=.
②如图4﹣2中,当点Q落在线段AB的垂直平分线MN上时,
由题意:,可得,解得t=
③如图4﹣3中,当点Q落在线段BC的垂直平分线上时,AP=PB,此时t=1,
综上所述,满足条件的t的值为或或1.
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【题目】某中学欲开设A实心球、B立定跳远、C跑步、D足球四种体育活动,为了了解学生们对这些项目的选择意向,随机抽取了部分学生,并将调查结果绘制成图1、图2,请结合图中的信息,解答下列问题:
(1)本次共调查了 名学生;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)求扇形的圆心角的度数;
(4)某班喜欢“跑步”的学生有4名,其中有2名男生,2名女生,现从这4名学生中选取2名,请用画树状图或列表的方法,求出刚好抽到同性的概率。
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【题目】如图,已知直线y=-2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,将△AOB沿直线AB翻折后,设点O的对应点为点C,双曲线y=(x>0)经过点C,则k的值为____________.
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【题目】中秋佳节时,我国有赏月和吃月饼的传统,某校数学兴趣小组为了了解本校学生喜爱月饼的情况,随机抽取了60名同学进行问卷调查,经过统计后绘制了两幅尚不完整的统计图.
(注:参与问卷调查的每一位同学在任何一种分类统计中只有一种选择)
请根据统计图完成下列问题:
(1)扇形统计图中,“很喜欢”的部分所对应的圆心角为__________度;条形统计图中,很喜欢“豆沙”月饼的学生有__________人;
(2)若该校共有学生900人,请根据上述调查结果,估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”月饼的共有__________人.
(3)甲同学最爱吃云腿月饼,乙同学最爱吃豆沙月饼,现有重量、包装完全一样的云腿、豆沙、莲蓉、蛋黄四种月饼各一个,让甲、乙每人各选一个,请用画树状图法或列表法,求出甲、乙两人中有且只有一人选中自己最爱吃的月饼的概率.
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【题目】图①、图②均是6×6的正方形网格,每个小正方形的边长为1,小正方形的顶点称为格点,点A、B、C、D均在格点上.用直尺在给定的网格中按要求画图,所画图形的顶点均在格点上,不要求写画法.
(1)在图①中以线段AB为腰画一个等腰三角形ABM,画出的△ABM的面积是 .
(2)在图②中以线段CD为边画一个四边形CDEF,使∠FCD+∠EDC=90°.
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【题目】如图,△ABC是等边三角形,AB=3,点E在AC上,AEAC,D是BC延长线上一点,将线段DE绕点E逆时针旋转90°得到线段FE,当AF∥BD时,线段AF的长为____.
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【题目】已知如图,扇形AOB的圆心角∠AOB=90°,OA=4,点C、点E分别是OB、OA的中点,CD⊥OB,EF⊥OA,则阴影部分面积为_____.
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【题目】如图,抛物线 与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标(1,n),与y轴的交点在(0,3),(0,4)之间(包含端点),则下列结论:①abc>0;②3a+b<0;③﹣≤a≤﹣1;④a+b≥am2+bm(m为任意实数);⑤一元二次方程 有两个不相等的实数根,其中正确的有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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