Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．动点P从点A出发，沿AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点A重合时，过点P作PD⊥AC于点D、PE∥AC，过点D作DE∥AB，DE与PE交于点E．设点P的运动时间为t秒．

（1）线段AD的长为　 　．（用含t的代数式表示）．

（2）当点E落在BC边上时，求t的值．

（3）设△DPE与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

（4）若线段PE的中点为Q，当点Q落在△ABC一边垂直平分线上时，直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）4t；（2）t的值为1；（3）S＝；（4）t的值为或或1．

【解析】

（1）解直角三角形求出AB，根据cosA==求解即可．
（2）首先证明四边形APED是平行四边形，由=，构建方程即可解决问题．
（3）分两种情形：①如图1中，当0＜t≤1时，②如图3中，当1＜t≤2时，分别求解即可．
（4）分三种情形：①如图4-1中，当点Q落在线段AC的垂直平分线MN上时．②如图4-2中，当点Q落在线段AB的垂直平分线MN上时．③如图4-3中，当点Q落在线段BC的垂直平分线上时，分别求解即可．

解：（1）如图1中，

在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝＝＝10，

∵PD⊥AC，

∴cosA＝=，

∴＝，

∴AD＝4t，

故答案为4t．

（2）如图2中，当点E落在BC上时，

∵DE∥AB，PE∥AD，

∴四边形APED是平行四边形，

∴DE＝AP＝5t，AD＝PE＝4t，

∴=，

∴＝

解得t＝1，

∴当点E落在BC边上时，t的值为1．

（3）①如图1中，当0＜t≤1时，重叠部分是△PDE，

∵PE∥AD，

∴∠DPE＝∠ADP＝90°，

∵DE＝5t，PE＝4t，

∴PD＝3t，

∴S＝PDPE＝×3t×4t＝6t2．

②如图3中，当1＜t≤2时，S＝（MN+PD）PN＝ [3t+3t﹣（10﹣5t）]（10﹣5t）＝﹣18t2+48t﹣24．

综上所述，S＝．

（4）①如图4﹣1中，当点Q落在线段AC的垂直平分线MN上时，

由题意：，可得，解得t＝．

②如图4﹣2中，当点Q落在线段AB的垂直平分线MN上时，

由题意：，可得，解得t＝

③如图4﹣3中，当点Q落在线段BC的垂直平分线上时，AP＝PB，此时t＝1，

综上所述，满足条件的t的值为或或1．