[题目]如图1.点P,Q分别是等边△ABC边AB,BC上的动点.点P从顶点A.点Q从顶点B同时出发.且它们的运动速度相同.连接AQ.CP交于点M.(1)求证:△ABQ△CAP;(2)如图1.当点P,Q分别在AB,BC边上运动时.∠QMC变化吗?若变化.请说明理由,若不变.求出它的度数.(3)如图2.若点P,Q在分别运动到点B和点C后.继续在射线AB,BC上运动.直线AQ,CP交点为M,则� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图1，点P,Q分别是等边△ABC边AB,BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ，CP交于点M.

（1）求证：△ABQ△CAP;

（2）如图1，当点P,Q分别在AB,BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.

（3）如图2，若点P,Q在分别运动到点B和点C后，继续在射线AB,BC上运动，直线AQ,CP交点为M,则∠QMC= 度.（直接填写度数）

【答案】（1）见解析；（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变，∠QMC=60°，理由见解析；（3）120.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP即可；

（2）由（1）可知△ABQ≌△CAP，所以∠BAQ=∠ACP，再根据三角形外角性质可求出∠QMC；

（3）先证△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，再根据三角形外角性质可求出∠QMC；

（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形

∴∠ABQ=∠CAP=60，AB=CA，

又∵点P、Q运动速度相同，

∴AP=BQ，

在△ABQ与△CAP中，

∴△ABQ≌△CAP(SAS)；

(2)点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变，∠QMC=60°.

理由：∵△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ=∠ACP，

∵∠QMC是△ACM的外角，

∴∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC

∵∠BAC=60°，

∴∠QMC=60°；

(3) 如图2，∵△ABC是等边三角形

∴∠ABQ=∠CAP=60，AB=CA，

又∵点P、Q运动速度相同，

∴AP=BQ，

在△ABQ与△CAP中，

∴△ABQ≌△CAP(SAS)；

∴∠BAQ=∠ACP，

∵∠QMC是△APM的外角，

∴∠QMC=∠BAQ+∠APM，

∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°∠PAC=180°60°=120°，

故答案为：120.

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