Question

如图，沿OA将圆锥侧面剪开，展开成平面图形后是扇形OAB．
（1）扇形的弧AB的长与圆锥底面圆周的长是怎样的关系？点A与点B在圆锥的侧面上是怎样的位置关系？
（2）若角∠AOB=90°，则圆锥底面圆半径r与扇形OAB的半径R（即OA或OB）之间有怎样的关系？
（3）若点A在圆锥侧面上运动一圈后又回到原位，则点A运动的最短路程应该怎样设计？若r²=0.5，∠AOB=90°，求点A运动的最短路程．

Answer 1

分析：（1）根据扇形和圆锥的关系判断弧长与底面周长的关系及点A与点B的关系即可；
（2）利用圆弧的长等于底面周长得到两个半径之间的关系即可；
（3）圆锥的侧面展开图是扇形，找到展开平面的两点之间的线段即可．

解答：解：（1）扇形的弧长等于其围成的圆锥的底面周长，点A与点B在圆锥的侧面上重合；

（2）∵圆锥的弧长等于底面的周长，
∴2πr=

90πR

180

即：R=4r；

（3）连接AB，则AB即为最短距离；
∵r²=0.5
∴r=

1 2

=

2

2

∵∠AOB=90°，
∴

90πr2

360

=πrR
解得：R=2

2

∵OA²+OB²=2R²=AB²，
∴AB=4
最短路程长为4．

点评：本题考查了圆锥的计算及最短路径问题，解题的关键是弄清圆锥的有关量与扇形的有关量的对应关系．